Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса основано на том, что от исходной системы переходят к эквивалентной системе, которая решается проще, чем исходная. Метод Гаусса представляет собой метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований (перестановка уравнений системы, умножение уравнений на число, отличное от нуля, сложение уравнений) система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап – это прямой ход, в результате которого расширенная матрица системы путем элементарных преобразований приводится к ступенчатому виду:

На втором этапе полученную ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица, при этом последний столбец (n+1) содержит решение исходной системы линейных уравнений:

Порядок решения системы линейных уравнений методом Гаусса состоит из следующей последовательности действий:

1) сформировать матрицу коэффициентов системы A и вектор свободных коэффициентов B для заданной системы уравнений;

2) сформировать расширенную матрицу системы, конкатенацией матрица A и массива B;

3) привести расширенную матрицу к ступенчатому виду;

4) найти решение системы, выделив последний столбец матрицы, полученной на предыдущем этапе.

В системе MATLABдля реализации обоих этапов метода Гаусса, заключающегося в приведенииисходной матрицы к треугольному (ступенчатому) виду, таким образом, чтобы первые n столбцы матрицы составляли единичную матрицу, используется команда следующего вида:

C=rref(A)

где: A – исходная матрица, C – эквивалентная матрица ступенчатого вида.