Правило Крамера для решения систем линейных уравнений

Правило Крамера заключается в следующем. Если определитель Δ=det(A) матрицы системы из nуравнений с nнеизвестными A∙X=B отличен от нуля, то система имеет единственное решение (x₁, x₂,…, x_n), определяемое по формулам Крамера: x_i=Δ_i/Δ, где Δ_i – определитель матрицы, полученной из матрицы системы A заменой i -го столбца вектором свободных коэффициентов B. Таким образом, для решения системы линейных уравнений методом Крамера необходимо выполнить следующие действия:

1) представить исходную систему линейных уравнений в матричном виде, то есть сформировать матрицу коэффициентов системы A и вектор свободных коэффициентов B;

2) вычислить главный определитель матрицы A;

3) сформировать вспомогательные матрицы для вычисления определителей Δ_i;

4) вычислить определители Δ_i;

5) найти решение системы по формуле: x_i=Δ_i/Δ.

В системе MATLABдля нахождения определителя матрицы существует операнд det, имеющий следующую форму записи:

D=det(A)

где: A – исходная матрица, D – значение определителя матрицы A.

Для замены i -го столбца матрицы A вектором B того же размера необходимо выполнить следующие операции:

A1=A;

A1(:,i)=B;

где: A1 – новая матрица, сформированная их исходной матрицы A, заменой элементов i -го столбцасоответствующими элементами вектора-столбца B.

Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений

Метод обратной матрицы для решения системы линейных уравнений состоит в следующем. Для системы из n линейных уравнений с m неизвестными вида A∙X=B, при условии, что определитель матрицы A не равен нулю, единственное решение системы можно представить в виде: X=A⁻¹∙B. Таким образом, для того, чтобы решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы необходимо выполнить следующие действия:

1) сформировать матрицу коэффициентов системы A и вектор свободных коэффициентов B для заданной системы уравнений;

2) решить систему уравнений, представив вектор неизвестных как произведение матрицы, обратной к матрице системе, и вектора свободных коэффициентов.

В системе MATLABдля нахождения обратной матрицы используется команда следующего вида:

С=inv(A)

где: A – исходная матрица, C – обратная матрица.