Множества и операции над ними

Определение 1.1. Под множеством понимается совокупность объектов, которые объединены по какому-то признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, о множестве букв алфавита, о множестве корней квадратного уравнения, о множестве натуральных чисел и т.д. Под элементами множества понимают объекты, из которых состоит это множество. Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита , а их элементы – малыми буквами

Элемент , принадлежащий множеству , записывается следующим образом . В противном случае для указания, что элемент не принадлежит множеству , используется запись .

Определение 1.2. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначается символом .

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества. Так, запись означает, что множество состоит из трех чисел 1, 4 и 9; запись означает, что множество состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множества подразделяются на конечные и бесконечные множества. Множество, число элементов которого конечно, называется конечным. В противном случае множествоназывается бесконечным.

Определение 1.3. Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так: («множество включено во множество »).

Определение 1.4. Множества и равны, если они состоят из одинаковых элементов. Обозначается .

Над множествами возможны следующие основные операции.

Определение 1.5. Объединением (или суммой) множеств и называется множествовсех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств или . Обозначается .

Пример 1.1. Если и , то .

Определение 1.6. Пересечением (или произведением) множеств и называется множествовсех элементов, принадлежащих каждому из множеств и . Обозначается .

Пример 1.2. Если и , то .

Определение 1.7. Разностью множеств и называется множество всех элементов, принадлежащих множеству и не принадлежащих множеству . Обозначается .

Пример 1.3. Если и , то , а .

Числовые множества.

Определение 1.8. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Примерами числовых множеств являются:

– множество натуральных чисел;

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел;

– множество иррациональных чисел;

– множество действительных чисел;

– множество комплексных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

.

Множество состоит из рациональных и иррациональных чисел. Любое рациональное число может быть выражено либо конечной десятичной дробью , либо бесконечной периодической дробью .

Действительные числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными. Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, и – иррациональные числа.

Все действительные числа геометрически можно изобразитьточками так называемой числовой прямой (или числовой оси), т.е. прямой, у которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

 

Рис. 1.1. Числовая прямая с отмеченным полуинтервалом .

Между множеством действительных чисел и множеством всех точек числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой и, наоборот, каждой точке на числовой прямой соответствует единственное действительное число.

Числовые промежутки.

Различают следующие подмножества множества действительных чисел, определяющие тот или иной числовой промежуток:

1. Если , то говорят, что принадлежит отрезку или сегменту (пишут ).

2. Если , то принадлежит интервалу ().

3. Если , то , если , то , и говорят, что принадлежит полуинтервалу.

4. Если , то , если , то , и говорят, что принадлежит бесконечному полуинтервалу.

5. Если , то , если , то , и говорят, что принадлежит бесконечному интервалу.

6. Если , то и говорят, что принадлежит множеству действительных чисел или принадлежит всей числовой прямой.

Здесь числа и называются соответственно левым и правым концами указанных промежутков. Символы и не являются числами, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой прямой от начала 0 влево и вправо.

Определение 1.9. Абсолютной величиной (или модулем)действительного числа называется само число , если неотрицательно, и противоположное число , если отрицательно:

Очевидно, что . Запись геометрически означает расстояние между точками и на числовой прямой.

Окрестность точки.

Определение 1.10. Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку .

Определение 1.11. - окрестностью точки называется интервал . При этом число называют центром, а число называют радиусом -окрестности.

Рис. 1.2. ( -окрестность).

Если , то выполняется неравенство , или, что то же самое, . Последнее неравенство в свою очередь означает, что точка попадает в -окрестностьточки .