Тема 10. Производные и дифференциалы высшихпорядков. 85

Кочкин С.А,Рябченко С.В,Конечная Н.Н,Сафонова Т.А,Ковалева Г.Н.

Математический анализ. Часть 1: Учебное пособие. − Архангельск: КИРА, 2016. − с. 147.

 

 

ISBN

 

 

Учебное пособие предназначено для студентов-бакалавровестественно-научных направлений, изучающих дисциплину «Математический анализ»или разделы математического анализа в рамках дисциплины «Математика». В пособии рассмотрены следующие разделы: функции одной переменной, теория пределов и непрерывность функции, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной.

В каждом разделе приведен необходимый теоретический материал идетально разобраны типовые задачи. В пособии также имеются задания для студентов, предназначенные для самостоятельной работы по освоению материала, в конце пособия приведены ответы на эти задания.

 

ISBN © Коллектив авторов, 2016

 

СОДЕРЖАНИЕ:

Тема 1. МНОЖЕСТВА. 6

Множества и операции над ними……………………………………………………………………..6

Числовые множества…………………………………………………………………………………...7

Числовые промежутки………………………………………………………………………………….8

Окрестность точки………………………………………………………………………………………9

Задания для самостоятельной работы по теме «Множества»……………………………………….10

Тема 2. ФУНКЦИЯ. 11

Понятие функции………………………………………………………………………………...........11

Способы задания функции…………………………………………………………………………….12

Основные характеристики функции………………………………………………………………....14

Обратная функция………………………………………………………………………..……………15

Сложная функция……………………………………………………………………………………...16

Основные элементарные функции и их графики……………………………………………………17

Неявная функция……………………………………………………………………………………….22

Функция, заданная параметрически…………………………………………………………………..22

Задания для самостоятельной работы по теме «Функция»…………………………………………23

Тема 3. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. 27

Понятие числовой последовательности………………………………………………………………..27

Предел числовой последовательности…………………………………………………………………28

Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности………………………….29

Основные свойства предела числовой последовательности………………………………………….30

Операции над пределами числовых последовательностей………………………………………….30

Свойства бесконечно малых числовых последовательностей……………………………………..31

Задания для самостоятельной работы по теме «Числовая последовательность. Предел числовой

последовательности»…………………………………………………………………………………..35

Тема 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. 38

Предел функции в точке……………………………………………………………………………...38

Предел функции на бесконечности…………………………………………………………………..38

Бесконечно малые и бесконечно большие функции………………………………………………..39

Односторонние пределы………………………………………………………………………………40

Основные теоремы о пределах функции……………………………………………………………….41

Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях…………………………………..41

Теоремы о предельном переходе……………………………………………………………………..43

Некоторые приемы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов…………………..43

Задания для самостоятельной работы по теме «Предел функции»…………………………………48

Тема 5. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. 51

Первый замечательный предел………………………………………………………………………….51

Второй замечательный предел………………………………………………………………………....53

Задания для самостоятельной работы по теме «Замечательные пределы»…………………………56

Тема 6. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ. 58

Классификация бесконечно малых функций………………………………………………………..58

Применение эквивалентных бесконечно малых функций…………………………………………58

Задания для самостоятельной работы по теме «Эквивалентные бесконечно малые функции». 60

Тема 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. 61

Понятие непрерывности функции…………………………………………………………………….61

Точки разрыва и их классификация………………………………………………………………….63

Основные теоремы о непрерывных функциях………………………………………………………67

Свойства функций, непрерывных на отрезке……………………………………………………….68

Задания для самостоятельной работы по теме «Непрерывность функции»………………………68

Тема 8. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. 71

Понятие производной………………………………………………………………………………….71

Основные правила дифференцирования……………………………………………………………..72

Таблица производных…………………………………………………………………………………72

Производная сложной функции………………………………………………………………………73

Логарифмическое дифференцирование………………………………………………………………74

Производная неявной функции……………………………………………………………………….75

Производная функции, заданной параметрически……………………………………………….....76

Геометрический и физический смысл производной функции……………………………………..76

Задания для самостоятельной работы по теме «Производная функции»…………………………78

Тема 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. 82

Понятие дифференциала………………………………………………………………………………82

Основные правила нахождения дифференциалов…………………………………………………..82

Задания для самостоятельной работы по теме «Дифференциал функции»……………………….83

Тема 10. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХПОРЯДКОВ. 85

Производные высших порядков………………………………………………………………………85

Дифференциалы высших порядков…………………………………………………………………..86

Задания для самостоятельной работы по теме «Производные и дифференциалы высших

порядков»……………………………………………………………………………………………….87