Определение 2.12. Основными элементарными функциями называются следующие функции:
1. Степенная функция – это функция вида , где .
Частные случаи:
– если , то получаем так называемые рациональные функции ;
– если (где – множество целых отрицательных чисел), то получаем так называемые дробно-рациональные функции ;
– если , т.е. ,то получаем радикал .
Примеры графиков степенных функций, которые соответствуют разным показателямстепени, представлены на рис. 2.2.
Рис. 2.2.Графики функций .
2. Показательная функция – это функция вида , где . Графики показательных функций представлены на рис. 2.3.
Рис. 2.3.Графики функций и .
Частный случай: если , то получаем так называемую экспоненциальную функцию (или экспоненту) , где число
3. Логарифмическая функция – это функция вида , где . Графики логарифмических функций представлены на рис. 2.4.
Рис. 2.4.Графики функций и .
Частные случаи:
– если , то получаем так называемый натуральный логарифм ;
– если , то получаем так называемый десятичный логарифм .
4. Тригонометрические функции – это функции . Графики тригонометрических функций представлены на рис. 2.5.
Рис. 2.5.Графики функций .
5. Обратные тригонометрические функции – это функции . Графики обратных тригонометрических функций представлены на рис. 2.6.
Рис. 2.6.Графики функций .
Определение 2.13. Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции суперпозиции функций, называются элементарными.
Пример 2.10. Примеры элементарных функций:
а) ; б) .
Пример 2.11. Примеры неэлементарных функций:
а) б)
Определение 2.14. Функция вида
,
где – постоянные числа, называется многочленом. Число называют степенью многочлена.
Определение 2.15. Функция вида
,
где – многочлены, называется рациональной функцией.
Определение 2.16. Функции, построенные с помощью суперпозиции рациональных функций и степенных функций с рациональными показателями, называются иррациональными.
Пример 2.12. Примеры иррациональных функций:
а) ; б) .
Неявная функция.
Формула определяет явный способ задания функции. Однако во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции.
Определение 2.17. Пусть функция определена на множестве . Тогда, если каждое значение и соответствующее ему значение функции удовлетворяют некоторому (одному и тому же) уравнению , то говорят, что эта функция задана неявно уравнением . Сама функция в этом случае называется неявной функцией.
Пример 2.13. Примеры неявных функций:
а) ; б) ; в) .
Определение 2.18. Графиком неявной функции, заданной уравнением , называется множество всех точек координатной плоскости , координаты которых удовлетворяют этому уравнению.