Основные характеристики функции

Определение 2.5. Функция , определенная на множестве , называется четной, если для любого выполняются условия и ; нечетной, если для любого выполняются условия и .

График четной функции симметричен относительно оси , график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 2.4. Функции и – четные функции; и – нечетные функции; и – функции общего вида, т.е. не четные и не нечетные.

Определение 2.6. Пусть функция определена на множестве и , причем . Тогда если , то функция называется возрастающей на множестве ; если , то функция называется неубывающей на множестве ; если , то функция называется убывающей на множестве ; если , то функция называется невозрастающей на множестве .

Определение 2.7. Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Пример 2.5. Функция – возрастающая функция при , а функция убывает при и возрастает при .

Определение 2.8. Функция , определенная на множестве , называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Пример 2.6. Функции и ограничены на всей числовой прямой, т.к. и для всех .

Определение 2.9. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом выполняются условия и . При этом число называется периодом функции.

Пример 2.7. Функции и – периодические функции с периодом ; и – периодические функции с периодом .

Обратная функция.

Определение 2.10. Пусть задана функция с областью определения и областью значений . Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения и областью значений . Такая функция называется обратной к функции и записывается в следующем виде: или .

Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно (если это возможно).

Пример 2.8. Для функции обратной функцией является функция , определенная на всей числовой прямой. Для функции , заданной на отрезке , обратной функцией является функция , определенная соответственно на отрезке . Заметим, что для функции , заданной на отрезке , обратной функции не существует, т.к. одному значению соответствует два значения (так, если , то ).

Сложная функция.

Определение 2.11. Пусть функция определена на множестве , а функция на множестве , причем для любого соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).