Определение 3.6. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа найдется такое натуральное число , что для всех выполняется неравенство
.
Числовая последовательность, пределом которой является конечное число , называется сходящейся. Символическиэто обозначают так: .
Рисунок 3.1. Числовая последовательность , сходящаяся к числу .
Неравенство равносильно неравенству , которое показывает, что все элементы с номерами находятся в -окрестности точки . Очевидно, что чем меньше , тем больше число , но так или иначе в -окрестности точки оказывается бесконечное число членов последовательности, а вне -окрестности может находиться лишь какое-то конечное число членов последовательности (см. рис. 3.1.). В этом состоит геометрический смысл предела числовой последовательности.
Коротко определение предела числовой последовательности можно записать следующим образом:
Числовая последовательность называется расходящейся, если она не имеет предела или он равен бесконечности.
Пример 3.1. Примеры сходящихся числовых последовательностей:
а) ; б) .