2018-01-08
632
Определение 3.6. Число 
называется пределом числовой последовательности 
, если для любого положительного числа 
найдется такое натуральное число 
, что для всех 
выполняется неравенство
.
Числовая последовательность, пределом которой является конечное число 
, называется сходящейся. Символическиэто обозначают так: 
.
Рисунок 3.1. Числовая последовательность , сходящаяся к числу .
Неравенство равносильно неравенству 
, которое показывает, что все элементы 
с номерами 
находятся в 
-окрестности точки 
. Очевидно, что чем меньше 
, тем больше число 
, но так или иначе в 
-окрестности точки 
оказывается бесконечное число членов последовательности, а вне -окрестности может находиться лишь какое-то конечное число членов последовательности (см. рис. 3.1.). В этом состоит геометрический смысл предела числовой последовательности.
Коротко определение предела числовой последовательности можно записать следующим образом:
Числовая последовательность называется расходящейся, если она не имеет предела или он равен бесконечности.
Пример 3.1. Примеры сходящихся числовых последовательностей:
а) 
; б) 
.
