Понятие числовой последовательности

Определение 3.1. Под числовойпоследовательностью (или просто последовательностью) понимается функция

,

котораязадана на множестве натуральных чисел. Числовая последовательность обозначается в виде либо следующим образом: , где . Число – это первый член (элемент) последовательности, число – второй член последовательности и т.д., число – общий или -ый член последовательности.

Числовую последовательность обычно задают формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член по номеру . К примеру, выражения

,

задают соответственно числовые последовательности

Определение 3.2. Числовая последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство

.

Если данное условие не выполняется, то числовая последовательность называется неограниченной. Очевидно, что вышерассмотренные последовательности и являются ограниченными, а и –неограниченными.

Определение 3.3. Числовая последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого выполняется неравенство ().

Определение 3.4. Числовая последовательность называется убывающей (невозрастающей), если для любого выполняется неравенство ().

Все подобного рода числовые последовательности называются монотонными числовыми последовательностями. Так, последовательности , и являются монотонными, а не является монотонной.

Определение 3.5. Числовая последовательность называется постоянной, если все ее элементы равны одному и тому же числу .