Производная сложной функции. Пусть есть функция от переменной ( ), а переменная

Пусть есть функция от переменной (), а переменная в свою очередь есть функция от независимой переменной (), т.е. задана сложная функция . Функция является внешней функцией, а функция – внутренней.

Теорема 8.1. Если и – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной внешней функции на производную внутренней (или внутренних) функции, т.е.

Пример 8.5. Найти производную функции .

Решение: Исходную функцию можно представить в виде , где . Тогда, согласно теореме 8.1 о производной сложной функции, будем иметь:

1) ;

2) ;

3) .

Следовательно, .

Логарифмическое дифференцирование.

Определение 8.4. Логарифмическое дифференцирование – это метод отыскания производной заданной функции путем предварительного ее логарифмирования.

Замечание 8.1. Этот метод широко используется для нахождения производной от фукции вида , где и – функции аргумента . Действительно, логарифмируя обе части исходного равенства, получаем