Геометрический смысл производной. Угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой равен производной функции в этой точке, т.е.
.
Уравнение касательной к кривой в точке касания имеет вид:
.
Определение 8.7. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой в данной точке.
Уравнение нормали к кривой в точке касания имеет вид:
.
Пример 8.9. Найти уравнение касательной и нормали к кривой в точке .
Решение: Для того чтобы найти угловой коэффициент касательной, необходимо вычислить производную от заданной функции:
Значение производной в заданной точке M и определяет искомый угловой коэффициент:
Уравнение касательной: или .
Уравнение нормали: или .
Физический смысл производной. Значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке по сравнению со скоростью возрастания независимого переменного, в частности, скорость прямолинейного движения есть производная от пути по времени , т.е.
|
|
,
а ускорение есть производная от скорости, т.е.
,
или вторая производная от пути, т.е.
.
Пример 8.10. Точка движется попрямой, причем расстояние точки от начала отсчета, измеряемое в метрах, определяется по формуле , где – время, измеряемое в секундах. Определить скорость движения точки в конце пятой секунды.
Решение: Используя физический смысл производной, находим, что скорость движения в любой момент времени определяется формулой а скорость движения в конце пятой секунды (м/с).