Замена переменной и подведение под знак дифференциала

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух типов:

1) , где − новая переменная; − непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной имеет вид

Функцию стараются выбрать таким образом, чтобы правая часть формулы приобрела более удобный для интегрирования вид.

2) , где − новая переменная. Тогда формула замены переменной приобретает вид

Такого рода преобразование называют подведением под знак дифференциала.

Примеры 14. Вычислить интегралы:

1) .

Решение: Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет стоять аргумент подынтегральной функции . Так как , то

2) .

Решение: Так как , то

3) .

Решение: Замечаем, что . Тогда

4) .

Решение: Поскольку , имеем

5) .

Решение: Применим подстановку , тогда

6) .

Решение: Используем подстановку . Следовательно, получим

Задания для самостоятельной работы по теме

«Интегрирование методом подстановки».

Задание. Методом подстановки найти следующие интегралы: