Если и − дифференцируемые функции, то справедливо
.
Данная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который оказывается более простым.
При нахождении интегралов типа
, ,
за следует принять многочлен , а за − соответственно выражения , , ; при отыскании интегралов вида
, , ,
,
за принимаются соответственно функции , , , , , а за − выражение .
Примеры 15. Вычислить интегралы:
1) .
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
2) .
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
3) .
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
4) .
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям, получим:
.
К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям:
.
Подставляя найденное выражение в первоначальное выражение, имеем
.
5) .
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
Последний интеграл сновапроинтегрируем раз по частям:
|
|
.
Таким образом,
.
В правой части последнего соотношения стоит искомый интеграл . Перенося его в левую часть, получим
.
Откуда
.
Задания для самостоятельной работы по теме
«Интегрирование по частям».
Задание. Проинтегрировать по частям следующие интегралы:
15.1. . | 15.2. . | 15.3. . |
15.4. . | 15.5. . | 15.6. . |
15.7. . | 15.8. . | 15.9. . |
15.10. . | 15.11. . | 15.12. . |
15.13. . | 15.14. . | 15.15. |
Тема16. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.