Парабола: определение, свойства, построение, каноническое уравнение

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F

и заданной прямой dd, не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы.

Директориальное свойство парабол

Точка F называется фокусом параболы, прямая d — директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, — вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы — параметром параболы, а расстояние p2от вершины параболы до её фокуса — фокусным расстоянием. Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок FM, соединяющий произвольную точку M параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки

M. Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.

Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице

(e=1).

Геометрическое определение параболы, выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:

y2=2⋅p⋅x,

Свойства

• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Функция одной действительной переменной: основные понятия, примеры.

Определение: Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), значения х определяются множеством значений, входящих в область определения функции (Х).
В этом случае х называется аргументом, а у - значением функции. Множество X называется областью определения функции, Y - множеством значений функции.
Часто задают это правило формулой; например, у = 2х + 5. Указанный способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим.
Функцияю можно так же задать графиком - Графиком функции у - f(x) называется множество точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению у = f(x).