Х – проходка на долото

б) Определить Х _maxи X_min элементы выборки

Х_max = 307 X_min = 2

Тогда размах выборки - R = Х_max - X_min =305

в) По формуле Серджеса определяем количество интервалов

k = 1+3,322∙lg(n) = 7,25 ≈ 7

г) Рассмотрим шаг разбиения

h = R÷k = 305÷7 = 43,57

д) Вычислим начальное значение интервальной таблицы

е) Составим интервальную таблицу

где Х – проходка на долото

X_несм =

б) исправленная дисперсия

=

(X_выб)² =363,609

в) «Исправленное» среднее квадратическое отклонение.

11691,37 = 11847,26

Выдвинем гипотезу об истинном значении параметра нормального распределения и проверим ее при уровне значимости

примем

Проверим гипотенузу

При конкурирующей гипотенузе

Решение:

а) вычислим наблюдаемое значение критерия

б) при найдем

нет основания отвергнуть гипотезу ,т.е. выборочная средняя незначимо отличается от гипотетической (предполагаемой)генеральной средой

Выведем гипотенузу о нормальном законе распределения случайной величины х и проверим ее по критерию при уровне значимости имеем

нормальный закон распределения наблюдается

нормальный закон распределения не наблюдается

а) Составим вспомогательную таблицу вида

№	Частичный интервал	Нормированный правый конец	Нормированный левый конец			Теоретическая вероятность	Теоретическая частота	Эмпирическая частота
	(-19,79; 29,78)	-0,28	-0,74	-0,1103	-0,2703	0,16	12,16
	(29,78; 67,35)	0,06	-0,28	0,0239	-0,1103	0,1342	10,2
	(67,35; 110,92)	0,47	0,06	0,1808	0,0239	0,1569	11,92
	(110,92; 154,49)	0,87	0,47	0,3078	0,1808	0,127	9,65
	(154,49; 328,77)	2,47	0,87	0,4932	0,3078	0,1854	14,09

б) Сравним эмпирическую и теоретическую частоты.

эмпирическая частота
теоретическая частота	12,16	10,2	11,92	9,65	14,09

Вывод: расхождение случайно

		12,16	22,84	521,67	42,9
		10,2	8,8	77,44	7,59
		11,92	-4,92	24,21	2,03
		9,65	-2,65	7,02	0,73
		14,09	-6,09	37,09	2,63

Задача

Применяя метод наименьших квадратов на основе экспериментальных данных найти эмпирическую формулу, выражающую зависимость y от x. Построить теоретическую зависимость и экспериментальные точки на одном графике.

1) Для оценки вида функциональной зависимости представим данные таблицы на координатной плоскости.

Основываясь на график, можно предполагать, что данная функция зависимости является линейной

2) Предусматриваем нахождения параметров ( этих зависимостей из условий минимума алгебраической суммы квадратического отклонения

3)Где коэффициенты найдем из решения системы для квадратической зависимости:

n-количество пар в таблице

4)Для решения системы следует составить вспомогательную таблицу

	-2	5,2		-10,4
	-1	2.7		-2,7
		-0,2
		-0,8		-0,8
		-2,7		-5,4
		-5,3		-15,9
		-7,4		-29,6
		-8,5		-64,8

0,0225;

Задача

При исследовании коэффициента трении полимерного волокна для двух образцов были получены следующие силы трения. Можно ли считать, что в среднем образцы одинаковы.

Ход решения: 1) Вычислить

Задача 3

Известны результаты наблюдений за свойствами горных пород, Р₀ – предел текучести по штампу, Р_ш – твердость по штампу.

1) Исследовать, принадлежат ли минимальные и максимальные члены выборок к основной генеральной совокупности по правилу трех сигм и критерию Стьюдента.

2) Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии Р₀ и Р_ш.

3) Найти коэффициенты корреляции между Р₀ и Р_ш.

4) Получить уравнение линейной регрессии Р_ш на Р₀.

5) Проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции при условии значимости α = 0,05

Известны результаты наблюдений за свойствами горных пород, которые приведены в таблице.

где Р₀ - предел текучести по штампу, Р_ш - твердость по штампу

1) Составим вспомогательную расчетную таблицу

Примем Р₀ за x_i и Р_ш за y_i.

№	xi	yi	xi2	yi2	xi yi

Из таблицы получили:

= 2451

=1181

=374249

=85171

=173725

Рассчитаем математическое ожидание:

= = 2451/17 = 144,18

= = 1181/17 =69,47

Рассчитаем дисперсию:

σ_x² = ² = 22014,65 – 20770,57 = 1244,08

σ_y² = ² = 5010,06 – 4826,08 = 183,98

Отсюда: σ_x = 35,27

σ_y = 13,56

I. Найдем коэффициент корреляции между Р₀ и Р_ш

Для этого сначала рассчитаем коэффициент ковариации С_xy

С_xy= = 10219,12 – 10012,02 = 207,1

Коэффициент корреляции будет равен

r_xy = С_xy/σ_xσ_y = 207,1/478,26 = 0,43

Вычислим значение произведения │r_xy│ = 0,43 = 1,72 3

Вывод: связь недостаточно вероятна, т.е. не обоснована.

II. Составим уравнения линейной регрессии Р₀ и Р_ш

= 69,47+0,43*35,27/ 13,56 (х-144,17)= 69,47 + 1,12x – 161,41 =

= 18,94x – 91,94

= 144,17+0,43*13,56/ 35,27 (y-69,47)= 144,17 + 0,17y – 11,81

= 2,79y + 132,36

Построим точки, определенные таблицей и полученные линии регрессии.

Для построения воспользуемся вспомогательной таблицей вида:

x
	180,84	559,64
Y
	89,8	229,3

Видим, что линии регрессии на графике пересекаются достаточно близко к области скопления экспериментальных точек, но проходят не идеально точно, т.к. связь между случайными величинами х и y недостаточно вероятна (меньше 3).

Из решения системы найдем точные координаты пересечения линий регрессии:

x= - 46,58

y= 2,40

Следовательно, точка пересечения имеет координаты (- 46,58; 2,40), что мы и можем наблюдать на графике.

III. Проверим гипотезу о значимости коэффициента корреляции при уровне значимости α=0,05

Проверим нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции: Н₀: =0

Н₁: 0

1. Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле:

Т_набл = = (0,43 )/()= 1,82

1. По таблице критических точек распределения Стьюдента найдем t_дв.кр.(α;к), где α=0,05 к=n-2

t_дв.кр.(0,05;17-2)=(0,05;15)= 2,13

Вывод:│Т_набл│< t_дв.кр – следовательно, мы можем принять гипотезу Н₀ о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, т.е. не значимо отличается от нуля. Таким образом, это доказывает, что случайные величины x и y не коррелированны (нет тесной связи).

IV. Найдем несмещенные оценки математического ожидания и

дисперсии Р₀ и Р_ш

1. Рассчитаем несмещенные оценки математического ожидания, которые равняются выборочным средним:

= = 2451/17 =144,17

= = 1181/17 =69,47

2. Рассчитаем несмещенные оценки дисперсии (см. Задание№1):

S²_несм=(n/n-1)*D_в, где D_в – исправленная оценка, которая вычисляется по формуле D_в= ², где

=

²= ²

Таким образом, D_в= – ²

D_в=374249/17 – (144,17)² = 22014,65-20784,99=1229,66

Следовательно, S²_несм(x)=17/16*1229,66=1303,44

По аналогии S²_несм(y)=17/16*(85171/17-(69,47)²)=195,48

Отсюда: S_несм(x) = 36,10

S_несм(y) = 13,98

V. Исследуем, принадлежат ли минимальные и максимальные члены выборок к основной генеральной совокупности по правилу 3σ и критерию Стьюдента

1. Из данной выборки найдем минимальные х_min и максимальные элементы х_max

Р_0max = x_max и Р_{ш max} = y_max

Р_0mix = x_min Р_{ш mix} = y_min

Имеем:

x_max = 233 y_max =95

x_min = 99 y_min =52

2. По правилу 3σ определим интервалы для x и y:

Правило 3σ: нормально распределенная случайная величина с D(x)= σ² практически не отклоняется от своего среднего значения больше чем на 3σ.

В нашем случае мы используем несмещенную оценку дисперсии D(x)= S²_несм

[ - 3S_несм; + 3S_несм]

[- 46,58- 3*36,10; - 46,58+ 3*36,10]

[-154,88;61,72]

[ - 3S_несм; + 3S_несм]

[2,40- 3*13,98; 2,40+ 3*13,98]

[-39,54;44,34]

3. Проверим принадлежность элементов к найденному интервалу:

x_max [35,04; 253,2] y_max [27,53;111,41]

x_min [35,04; 253,2] y_min [27,53;111,41]