Если последовательность сходится, то она ограничена

Экзамен по матану.

Модуль 1: Элементарные функции и пределы.

Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящейся и расходящейся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности (с доказательством).

Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а ₁, а ₂, а ₃,…, а_n,….

Примеры:

 

1). 1, 1, 1,…,1,…; аn =1, n Î N;	3). ; n Î N;
2). ; аn = , n Î N;	4).

Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа e существует такое натуральное число N (зависящее от e), что для членов последовательности с номерами n > N выполняется неравенство | a_n - a |<e.

Обозначения: ; ; при .

Если при , то говорят также, что последовательность сходится к числу а.

Краткая форма записи определения: .

Неравенство | a_n - a |<e эквивалентно двустороннему неравенству -e< a_n - a <e или a -e< a_n < a +e. Таким образом, смысл неравенства | a_n - a |<e заключается в том, что для "e>0 мы можем найти такое N, что все точки a_n с номерами индексов n > N лежат внутри интервала U _e(a) = (a -e, a +e), т.е. вне этого интервала лежит не более чем конечное число точек последовательности.

Теор. Последовательность может иметь не более одного предела.

Док-во. От противного: предположим, что последовательность имеет два предела: и . Предположим для определённости, что b > a. Возьмём в качестве e любое число, меньшее, чем (b - a)/2. Так как , то, по определению предела последовательности, $ N ₁: n > N ₁ Þ a -e< a_n < a +e< a +(b - a)/2=(a + b)/2. Так как , то $ N ₂: n > N ₂ Þ(a + b)/2= b -(b - a)/2< b -e< a_n < b +e. Возьмём N =max{ N ₁, N ₂}. Тогда при n > N одновременно должны выполняться неравенства a_n < (a + b)/2 и a_n > (a + b)/2, что невозможно.

 

Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка).

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Док-во. Пусть $ . Возьмём e=1. $ N: n > N Þ a -1< a_n < a +1. Итак, все члены последовательности, начиная с N +1, ограничены снизу числом a -1, сверху - числом a +1. Вне окрестности U ₁(a) точки a может лежать не более N членов. Возьмём в качестве нижней границы число М ₁=min{ a₁, a₂, a₃,…, a_N, a -1}, в качестве верхней границы число М ₂=max{ a₁, a₂, a₃,…, a_N, a +1}. Тогда М ₁ a_n М ₂, т.е. последовательность действительно ограничена.

Признак Вейерштрасса (или теорема Вейерштрасса) звучит так: если числовая последовательность является ограниченной сверху (снизу) и является неубывающей (невозрастающей), то она имеет бесконечный предел.

 

Определение по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством).

(Коши) Пусть а - предельная точка области определения Х функции f (x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа e>0 существует такое число d (вообще говоря, положительное и зависящее от e), что если х Î Х принадлежит также проколотой d-окрестности точки а, то значение функции f (x) принадлежит e-окрестности числа b.

Обозначения: ; f (x)® b при x ® а; .

Краткая форма записи: .

Односторонние пределы функции.

Опр. Число b называется пределом функции f (x) при х ® а справа (или правым, правосторонним пределом), если для любого числа e>0 существует такое число d, что если х Î Х удовлетворяет неравенству a < x < а +d, то | f (x)- b |<e.

Обозначения: ; f (x)® b при x ® а +0; ; f (а +0).

Опр. Число b называется пределом функции f (x) при х ® а слева (или левым, левосторонним пределом), если для любого числа e>0 существует такое число d, что если х Î Х удовлетворяет неравенству a -d < x < а, то | f (x)- b |<e.

Обозначения: ; f (x)® b при x ® а -0; ; f (а -0).

Односторонние пределы на бесконечности:

Опр. Число b называется пределом функции f (x) при х ®+µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если х Î Х удовлетворяет неравенству x > K, то | f (x)- b |<e.

Обозначения: ; f (+µ).

Опр. Число b называется пределом функции f (x) при х ®-µ, если для любого числа e>0 существует такое число K, что если х Î Х удовлетворяет неравенству x < K, то | f (x)- b |<e.

Обозначения: ; f (-µ).

(Гейне) Пусть { x_n | x_n Î X, x_n ¹ a } - последовательность точек области определения функции f (x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности { x_n } последовательность значений функции { f (x_n)} сходится к числу b, то b называется пределом f (x) при x ® а.