Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций (с доказательством)

Опр. Функция f(x) называется бесконечно большой при х ® а, если . Обозначение: .
9. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций (доказательство для функций и последовательностей).

Теорема о пределе сложной функции (с доказательством).

Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел (с док-вом)

Теорема (о сохранении функцией знака своего предела). Пусть предел

положителен. Тогда функция f(x) положительна в некоторой проколотой окрестности точки x0.

Доказательство. Пусть lim f(x) = a, a > 0. Тогда для положительного числа —а/2, найдется δ> 0 такое, что при 0 < |x — x₀| <δ выполняется неравенство |f(x)-a|<a/2

Это неравенство равносильно такому: -a/2< f(x)-a <a/2

следовательно, f(x) > a/2,т.е. данная функция положительна при x принадлежащем промежутку (x₀ — δ, x₀) U (x₀, x₀ + δ). Теорема доказана.