double arrow

Связь между пределом функции и односторонними пределами устанавливает

Теор. Для того, чтобы существовал (или ), необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны односторонние пределы.

Док-во. Необходимость. Пусть $ . Для "e>0 $d: 0<| x - a |<d Þ| f (x)- b |<e. Но тогда | f (x)- b |<e и при 0< x - a <d(Þ0< x < a +d), и при -d< x - a <0(Þ a -d< x <0), т.е. выполняются условия определений , , следовательно, оба односторонние предела существуют и равны между собой.

Достаточность. Пусть $ , $ . Возьмём "e>0. Первый предел обеспечивает существование d1: a < x < a +d1Þ| f (x)- b |<e. Аналогично второй предел обеспечивает существование d2: a -d2< x <0Þ| f (x)- b |<e. Выберем d<min{d1, d2}. Тогда при 0<| x - a |<d для x > a будет выполняться первое неравенство, для всех x < a - второе. В обоих случаях | f (x)- b |<e, т.е. $ , и этот предел равен числу b.

Теорема о единственности предела функции (с доказательством).

Теор. Последовательность может иметь не более одного предела. (см.1)


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: