Контрольные задания по математическому анализу (дляЭУЗ-1с)

Оглавление

 

Требования к выполнению контрольной работы.. 2

Список рекомендованной литературы.. 3

Контрольные задания по математике(1семестр) 4

Приложение 1 Оформление титульного листа. 24

Приложение 2 Образцы выполнения типовых задач. 25

 

Требования к выполнению контрольной работы

 

Выполненная работа должна быть сдана преподавателю для аттестации не позднее чем за неделю до зачетно-экзаменационной сессии.

Вариант работы выбирается по сумме двух последних цифр номера зачетной книжки.

Оформление работы должно соответствовать приведенным ниже требованиям. Работы, выполненные не по требованиям, не по своему варианту, либо неполностью, возвращаются студенту для доработки.

1. Работа должна быть выполненалибо в тетради в клетку, либо на листах формата А4.

2. Работа выполняется рукописно чернилами черного или синего цвета.

3. Титульный лист должен быть оформлен согласно примеру (см. приложение 1).

4. В приложении 2 имеются образцы выполнения типовых заданий.

5. Графики выполняются с использованием чертежных приспособлений.

6. Перед решением каждой задачи необходимо выписать ее условие.

7. Работа должна быть зарегистрирована в деканате.

8. Работа является зачтенной, если верно выполнено 75% работы. При незачтенной работе студент должен исправить отмеченные ошибки.

9. Зачтенная работа является основой для допуска студента к экзамену по предмету.

 

Списокрекомендованнойлитературы

 

 

1. Математика в экономике: учебник: в 3ч.Ч.2/А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2010.(Рекомендовано Министерством образования РФ)

2. Сборник задач по курсу «Математика в экономике»: в 3 ч. Ч.2. Математический анализ: учеб. Пособие/ Е.Н. Рылов, В.А. Бабайцев и др., под ред. В.А. Бабайцева, В.Б. Гисина. М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2010.

3. Орел О.Е. Математический анализ. Ч.2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: учеб.пособие для подготовки бакалавров /под ред. В.Б. Гисина, Е.Н. Орла. М.: Финакадемия, 2009.

4. Липагина Л.В. Математический анализ. Ч.2. дифференциальное исчисление функции одной переменной: учеб.пособие для подготовки бакалавров /под ред. В.Б. Гисина, Е.Н. Орла. М.: Финакадемия, 2009.

5. Борцова Т.В., Дережкина И.Е., Попов В.А. математический анализ.Ч.3. интегральное исчисление: учеб. пособие для подготовки бакалавров /под ред. В.Б. Гисина, Е.Н. Орла. М.: Финакадемия, 2009.

6. Ягодовский П.В. Математический анализ. Ч.4. Функция нескольких переменных: учеб.пособие для подготовки бакалавров /под ред. В.Б. Гисина, Е.Н. Орла. М.: Финакадемия, 2009.

7. Гончаренко В.М., Свирщевский С.Р., Математический анализ. Ч.5.Ряды.Ч.6. Дифференциальные уравнения: учеб.пособие для подготовки бакалавров /под ред. В.Б. Гисина, Е.Н. Орла. М.: Финакадемия, 2009.

8. Данко, П.Е, Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Учеб. Пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2006. – 416 с.

 

Контрольные задания по математическому анализу (дляЭУЗ-1с)

(1 семестр)

 

Задание 1. Найти и изобразить на числовой оси области определения функций:

 

Вариант	а)	б)	в)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.

 

Задание 2. Построить график функции (либо ) преобразованием графика функции (либо ).

Вариант	Функция	Вариант	Функция
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.

 

Задание 3. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Вариант	а), б)	в), г)
1.	а) б)	в) г)
2.	а) б)	в) г)
3.	а) б)	в) г)
4.	а) б)	в) г)
5.	а) б)	в) г)
6.	а) б)	в) ; г)
7.	а) б)	в) г)
8.	а) б)	в) ; г)
9.	а) б)	в) г)
10.	а) б)	в) г)
11.	а) б)	в) ; г)
12.	а) б)	в) г)
13.	а) б)	в) г)
14.	а) б)	в) г)
15.	а) б)	в) г)
16.	а) б)	в) г)
17.	а) б)	в) г)
18.	а) б)	в) г)

Задание 4. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если существуют. Сделать чертеж.

 

№	Функция	№	Функция
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.

 

Задание 5. Найти производные данных функций.

Вариант	Функции
1.	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
2.	а) ; б) ; в) ; г) ; д)
3.	а) ; б) ; в) ; г) ; д)
4.	а) ; б) ; в) ; г) ; д)
5.	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
6.	а) ; б) ;в) ; г) ; д) .
7.	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
8.	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
9.	а) ; б) ; в) ; г) ; д)
10.	а) ; б) ; в) ; г) ; д)
11.	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
12.	а) ; б) ; в) ; г) ; д)
13.	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
14.	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
15.	а) ; б) ; в) ; г) ; д)
16.	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
17.	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
18.	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

 

Задание 6. Найти производные и для заданных функций: а) ; б) , .

Вариант		,
1.		;
2.		;
3.		;
4.		;
5.		;
6.		;
7.		;
8.		;
9.		;
10.		;
11.		;
12.		;
13.		;
14.		;
15.		;
16.		;
17.		;
18.		;

 

Задание 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант	,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.

 

Задание 8. Задачина физический смысл производной

1. Тело движется прямолинейно по закону . Найти его мгновенную скорость в момент времени , . Какова начальная скорость движения тела?

2. Найти среднюю скорость движения тела на отрезке времени , если зависимость пути от времени выражается формулой . В какой момент времени мгновенная скорость совпадает со средней?

3. Тело движется прямолинейно по закону . В какой момент времени тело изменит направление движения на противоположное?

4. Найти ускорение тела при , если закон его движения описы-ваетсяформулой . В какой момент времени ускорение равно нулю?

5. Тело движется по прямой по закону . Определить скорость и ускорение движения. В какие моменты тело меняет направление движения?

6. Найти ускорение тела, движущегося по закону
( – путь в метрах, t – время в минутах), в момент времени .

7. Найти ускорение тела, движущегося по закону ( – путь в метрах, t – время в минутах), в момент времени .

8. Прямолинейное движение точки задано уравнением
. Найти скорость движения точки в момент времени .

9. Прямолинейное движение точки задано уравнением
. Найти скорость движения точки в момент времени .

10. Прямолинейное движение точки задано уравнением . Найти скорость движения точки в момент времени .

11. Прямолинейное движение точки задано уравнением . Найти скорость движения точки в момент времени .

12. Прямолинейное движение точки задано уравнением . Найти скорость движения точки в момент времени .

13. Материальная точка движется по закону ( – путь в метрах, t – время в минутах). Найти мгновенную скорость в момент времени .

14. Найти мгновенную скорость точки, движущейся по закону
( – путь в метрах, t – время в минутах), через 10 с после начала движения.

15. Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону
( – путь в метрах, t – время в минутах), в момент времени .

16. Материальная точка движется по закону , где измеряется в сантиметрах, а t – в секундах. Найти среднюю скорость движения точки за промежуток времени от t = 1 до t = 3 с. Какова мгновенная скорость точки в момент времени ?

17. Свободно падающее тело движется по закону , где
g = 9,8 м/с ² есть ускорение силы тяжести. Найти скорость падающего тела
в конце 5-й секунды.

18. Тело движется по прямой так, что расстояние (в километрах) от него до неподвижной точки Р этой прямой изменяется по формуле , где время t измеряется в часах. Найдите скорость тела
(км/ч) через 3 часа после начала движения.

 

Задание 9. Исследовать математическими методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

Вариант	Функция	Вариант	Функция
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.

 

Задание 10. Доказать равенство вторых частных производных функции и найти значение выражения в точке .

№ вар.		№ вар.

 

Задание 11. Задана функция , выражающая меру полезности набора , где х – количество товара А, у – количество товара В. Найти наибольшую скорость роста функции полезности набора .

Вариант	,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.

 

Экономические задачи

 

Задание 12. Введение в математический анализ

 

1. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y = ax + b, где x - объем партии. Причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта y = 1.45x + 20, а для второго варианта при x = 100 (дет), y = 157.5 (руб), при x = 300 (дет), y = 452.5 (руб). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т.е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x = 200 (дет).

2. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются функциями y = 150x + 50 и y = 25x + 250, где x - расстояние в сотнях километров; y - транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

3. Известно, что средние издержки (себестоимость) определяются зависимостью y = 2x^p, где x- объем производства. Определить значение p, если известно, что при x = 100, y = 20.

4. Известно, что стоимость рулона ткани y прямо пропорциональна x - количеству метров в рулоне. Зная, что цена 1 м ткани равна 130 руб, выписать функцию y = f(x) и вычислить стоимость рулона, содержащего
300 м.

5. Зная, что объем производства y связан с производительностью труда x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при x = 3, y = 185, при x = 5, y = 305. Определить объем производства при x = 20.

6. Прогноз численности населения на ближайшую перспективу можно производить по формулам: (1) y = y₀ + bt и (2) y = y₀ a^t, где y - численность населения; y₀- исходная численность (по переписям или оценке); b- средний абсолютный прирост, a - средний темп роста (в форме коэффициента роста); t (лет) - длина периода, на который производится прогноз. Определить численность населения в данном регионе через 3 года по формулам (1) и (2), если y₀ = 3*10⁴, b = 3*10³, a = 1.1. Сравнить результаты.

7. Пусть имеется запас некоторого сырья, составляющий B тонн, которого должно хватить на A дней. Расход материала должен быть равномерным, т.е. ежедневно расходуется одинаковое количество сырья. Составить уравнение, выражающее зависимость неизрасходованного сырья y от количества прошедших дней x. Построить график при A = 10, B = 5. Определить, каков остаток сырья через 3 дня, если A = 5, B = 15.

8. Зависимость уровня потребления y некоторого вида товаров от уровня дохода семьи x выражается формулой y = a - b/(x + c). Полагая
a = 2.8, b = 168, c = 10, построить график этой зависимости; провести экономический анализ. Вычислить уровень потребления при x = 158.

9. Продолжительность выполнения работы y (мин.) при повторяемых операциях есть величина, обратно пропорциональная числу x (шт.) этих операций. Построить график этой зависимости y = f(x), если известно, что при справедлива формула y = a/(x + c), причем при x = 0 y = 150, при x = 200 y = 50. Вычислить, сколько минут выполняется работа при
50 операциях.

10. Рентабельность y связана с себестоимостью продукции x следующей зависимостью: y = a/x – 1, где a- цена единицы продукции. Построить график этой зависимости при a = 100. Пояснить его экономический смысл. Вычислить рентабельность при x₁ = 50 и x₂ = 150. Дать пояснения.

11. Распределение дохода в капиталистическом обществе может быть описано законом Парето: y = ax^-m, где y- число лиц, имеющих доход, не меньший x; m, a- положительные постоянные. Требуется: 1) при a = 3*10⁹, m = 3/2 определить число лиц, имеющих доход не меньше 1600 денежных единиц; 2) при a = 2*10⁹, m = 3/2 определить число лиц, чей доход не меньше 10⁵ денежных единиц.

12. Постоянные издержки при производстве ручных часов составляют 12 тыс. руб. в месяц, а переменные - 700 руб. за единицу продукции. Продукция продается по цене 1200 руб. за единицу. Составить функцию прибыли. Определить:а) точку безубыточности;б) сколько единиц продукции нужно произвести, чтобы прибыль составила 105 тыс. руб. в месяц.

13. Определить сумму, которую получит вкладчик через 3 года, вкладывая 500 руб. под сложный процент, ставка которого 3%.

14. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются функциями y = 65x + 360 и y = 45x + 160, где x - расстояние в сотнях километров; y - транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

15. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y = ax + b, где x - объем партии, причем параметры a и b различны для дв