Главные оси и главные моменты инерции

Нас интересует вопрос: относительно каких осей моменты инерции принимают экстремальное значение. Из выражения (2) легко понять, что если относительно одной из осей момент принимает максимальное значение, то относительно другой момент будет минимальным.

Возьмем первое из выражений (1) и исследуем его на экстремум.

Если продифференцировать второе выражение, то получим

Следовательно, условием существования экстремума будет . Это будет иметь место при Откуда

Определение. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Моменты инерции относительно главных осей принимают экстремальные значения и называются главными моментами инерции.

Положение главных осей задается выражением (3). Если использовать это выражение для исключения из уравнений (1) функций угла 2, то получим формулу для определения главных моментов инерции.