2018-01-21
1100
Пусть х, у произвольные площади сечения площадью F, а оси 
, 
получены из них поворотом на угол 
. Найдем моменты
инерции относительно осей , через “старые” моменты инерции
относительно осей , через “старые” моменты инерции относительно осей х, у.
Связь между координатами известна из курса аналитической геометрии
; 
.
Вычислим момент инерции 
Входящие в это выражение, интегралы представляют собой моменты инерции относительно осей 
Учитывая известные тригонометрические тождества:
переходим к функциям угла 
.
Если проделать эту процедуру и для 
то получим следующие формулы преобразования моментов инерции при повороте
координатных осей: 
Складываем два первых уравнения, получаем 
т.е. сумма осевых моментов инерции инвариантна по отношению к повороту осей (на самом деле, она ведь равна полярному моменту инерции, а последний зависит лишь от полюса, а не от положения осей 
).
