Преобразование моментов инерции при повороте осей

Пусть х, у произвольные площади сечения площадью F, а оси , получены из них поворотом на угол . Найдем моменты

инерции относительно осей , через “старые” моменты инерции

относительно осей , через “старые” моменты инерции относительно осей х, у.

Связь между координатами известна из курса аналитической геометрии

; .

Вычислим момент инерции

Входящие в это выражение, интегралы представляют собой моменты инерции относительно осей

Учитывая известные тригонометрические тождества:

переходим к функциям угла .

Если проделать эту процедуру и для то получим следующие формулы преобразования моментов инерции при повороте

координатных осей:

Складываем два первых уравнения, получаем

т.е. сумма осевых моментов инерции инвариантна по отношению к повороту осей (на самом деле, она ведь равна полярному моменту инерции, а последний зависит лишь от полюса, а не от положения осей ).