Сравнительный анализ аксиоматики Гильберта и системы аксиом школьного учебника Атанасяна Л.С

Аксиомы Гильберта этой группы описывают свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.

В учебнике Атанасяна аксиомы этой группы также характеризуют взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. Но в аксиоматике Гильберта их всего восемь, а в учебнике Атанасяна к этой группе аксиом относится десять аксиом. Гильберт в своих аксиомах использует названия точек А и В, названия плоскостей и , а также название прямой а. В учебнике же не используются названия точек, кроме точки О, которая фигурирует как разделительная точка прямой, также имеются названия прямой и плоскости. В школьную аксиоматику включены аксиомы, имеющие понятие луча, полуплоскости и полупространства, чего нет в I группе аксиоматики Гильберта. Ещё одной особенностью аксиом данной группы является то, что в аксиоматике Гильберта используется термин " Каковы бы ни были две точки…", а с другой стороны в школьном учебнике используется термин " Через любые две (три) точки…".

Аксиомы Атанасяна с 1 по 7 построены более упрощенно для понимания школьника, но каждая из аксиом с 8 по 10 дают сразу несколько разных отношений для плоскостей, точек, лучей, пространства и полупространства, что может вызвать затруднение в общем понимании отдельно взятой аксиомы.

Попробуем провести соответствие аксиом Гильберта и аксиом школьного учебника Атанасяна:

I₁ Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, проходящая через эти точки.

I₂ Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

Этим аксиомам соответствует аксиома учебника: