Из трёх точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими

Во II группу аксиом Гильберта не входят такие понятия как пространство, полупространство, луч, полуплоскость. Об этом говорилось выше.

III группа Аксиомы конгруэнтности

Основным неопределяемым понятием в этой группе аксиом Гильберта является понятие " конгруэнтности", или " равенства", отрезков и углов. Будем использовать слово равенство и обозначения: AB = CD ( для отрезков) и или ; ( для углов).

III₁ Если А и В - две точки прямой а и А' - точка на той же прямой или на другой прямой , то всегда можно найти по данную от точки А' сторону прямой а' такую точку , что АВ = A . Для каждого отрезка АВ требуется АВ = ВА. '

III₂ Если и , то .

III₃ Пусть АВ и BC - два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, и пусть и В'С' - два отрезка на той же или другой прямой , тоже не имеющие общих точек. Если и , то .

III_4. Пусть в некоторой плоскости даны угол hk и луч h'. Тогда в заданной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч , существует и единственный луч k' такой, что , и все внутренние точки лежат в заданной полуплоскости. Каждый угол равен самому себе: .

III₅ Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и - тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом и , то и .

Сравним эту группу аксиом с аксиомами учебника Атанасяна.

Во-первых: Гильберт не использует такое понятие как "наложение".