2018-01-21
1255
Во II группу аксиом Гильберта не входят такие понятия как пространство, полупространство, луч, полуплоскость. Об этом говорилось выше.
III группа Аксиомы конгруэнтности
Основным неопределяемым понятием в этой группе аксиом Гильберта является понятие " конгруэнтности", или " равенства", отрезков и углов. Будем использовать слово равенство и обозначения: AB = CD ( для отрезков) и 
или 
; ( для углов).
III1 Если А и В - две точки прямой а и А' - точка на той же прямой или на другой прямой 
, то всегда можно найти по данную от точки А' сторону прямой а' такую точку 
, что АВ = A 
. Для каждого отрезка АВ требуется АВ = ВА. '
III2 Если 
и 
, то 
.
III3 Пусть АВ и BC - два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, и пусть 
и В'С' - два отрезка на той же или другой прямой 
, тоже не имеющие общих точек. Если 
и 
, то 
.
III4. Пусть в некоторой плоскости даны угол 
hk и луч h'. Тогда в заданной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч 
, существует и единственный луч k' такой, что , и все внутренние точки 
лежат в заданной полуплоскости. Каждый угол равен самому себе: 
.
III5 Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и 
- тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом 
и 
, то 
и 
.
Сравним эту группу аксиом с аксиомами учебника Атанасяна.
Во-первых: Гильберт не использует такое понятие как "наложение".
