Теорія стійкості руху

При моделюванні динамічних процесів за допомогою звичайних д.р. неможливо абсолютно точно описати процес д.р. Початкові дані є результатами вимірювань і встановлюються не завжди точно. Якщо невеликі похибки впливають на процес, то за допомогою д.р. не можна досліджувати даний процес. Залежність поведінки розв’язків від початкових умов вивчає теорія стійкості руху.

Будемо розглядати с-му нелінійних д.р.

або у векторному вигляді де , а

 

Нехай – розв. с-ми, що задовольняє початк.умови

Визнач. Розв. наз. стійким за Ляпуновим якщо таке, що для довільного розбиття y=y(t) с-ми при буде виконуватися лише

Геом.

Визнач. Якщо розб. , стійкий за Ляпуновим і , то –наз. асимптотично стійким.

 

 

Визнач. Якщо таке, що для, як завгодно малого δ>0 існує таке, що при t>T ½ y(T)-j(T) ½>e хоча < , то розб. наз нестійким.

 

 

 

 

Як правило дослідження стійкості фіксованого розв‘язку зводиться до дослідження стійкості нульового розв‘язку .

Нехай y=φ(t) розв‘язок системи .

Робимо заміну , де нова невід‘ємна функція. Після підстановки одержимо . І оскільки – розв‘язок системи, то . Звідси відносно х маємо диференційне рівняння , де . Диференційне рівняння , називається рівнянням збурень. І дослідження стійкості розв‘язку вихідного рівняння переходить на дослідження стійкості розв‘язку рівняння збурень . Відповідно визначені стійкості мають вигляд.

Визначення: Розв‘язок називається стійким

за Ляпуновим, якщо дя таке, що для

будь якого розбиття при ,буде

виконуватись лише .

 

 

Визначення: розв‘язок називається асимптотично стійким, якщо він стійкий і для довільного іншого розв‘язку :

 

 

Визначення: Розв‘язок буде нестійким,

якщо , та , хоча , для яких

завгодно малого .