Фазовий портрет лінійної системи на площині

Розглянемо лінійну стаціонарну систему диференціальних рівнянь на площині

Побудуємо якісну картинку наведеного розв‘язку в залежності від параметрів системи (побудування фазового портрету). При розв‘язку системи складаємо характеристичне рівняння

I. Нехай . Тоді корені характеристичного рівняння

1) Нехай –дійсні, різні, одного знаку

a) . Розв‘язок має вигляд:

де – власні вектори. При :

, або

Траекторія має вигляд прямої. І оскільки

, то рух по ній при .

Аналогічно при :

, або

І оскільки , то при .

Траекторії між цими прямими мають вигляд “парабол” і оскільки , то рух направлен до початку координат. Точка рівноваги називається “стійким вузлом”.

б) Нехай .

Оскільки при заміні все залишиться,

як і в попередньому випадку, то фазовий

портрет цієї системи відрізняється від попереднього

лише напрямом руху. Тобто

. Степінь рівноваги назвемо

“нестійким вузлом”.

2) Нехай , дійсні, різних знаків.

Загальний розв‘язок

При c₁=0 маємо І рух іде по прямій y=(b_2/b₁)x. При c₂=0 маємо

Всі інші траєкторії мають

вигл. “гіпербол”, розташованих

між цими прямими. Рух по траєктор.

збіг. до до однієї прямої і розбіг. від

іншої. Стан рівноваги наз “сідлом”, а прямі відповідно стійкою і постійною сепаратрисами. 3) Нехай корені комплексні l_1,2=p±iq Розв. має вигл.

а) Нехай p<0 Тоді x(t)®0 y(t)®0 при t® µ при чому траєкторії мають вигл. спіралей, що “накручуються” на поч. корд. Стан рівноваги наз “стійким фокусом”.

б) Нехай p>0 траєкторія зберіг. такий же вигл. але рух іде у протил. напр. Стан рівноваги наз “нестійким фокусом”.

4. Нехай λ_1,2=±iq. Розв’язок має вигляд:

Траєкторії мають вигляд замкнених кривих. Рух по них

періодичний .Стан рівноваги називається

”центром”.

5. Нехай корені кратні, l₁=l₂=l. Можливі 2 випадки:

1)Матриця Жордана має вигляд . Тоді розвязок має вигляд x(t)=C₁e^l^t, y(t)= C₂e^l^t,або .

а)Якщо l<0,то стан рівноваги називається стійким дикритичим вузлом.

б)Якщо l>0,то нестійкий дикритичний вузол.

2)Якщо клітина Жордана ,то .Інтегральні криві мають вигляд “парабол”,що злиплись однією стороною.

а) Якщо l<0,то стан рівноваги називається стійким виродженим вузлом.

б) Якщо a >0,то стан рівноваги наз. нестійким ви-

дженим вузлом.

ІІ Нехай D=ad-bc=0. Тоді характеристичне рівняння

має вигляд:l²–(a+d)l=0.

l₁=0l₂=a+d.

1) Нехай l₁=0, l₂= a+d ¹ 0. Загальний розв’язок

x(t)=C₁a₁e^l^1t +C₂b₁

y(t)= C₁a₂e^l^2t +C₂b₂

Система x^ْ=ax+by

yْ=cx+dy може бути переписана

Оскільки , то строки пропорційні і (cx+dy)=α(ax+by),звідки

Оскільки на прямій ax+by=0 , то це пряма сталих точок.

А на сім’ї прямих y=αx+C рух йде за законом x(t)=C₁a₁e^l^t,y(t)= C₂a₂e^l^t

a) якщо l<0,то особлива пряма—стійка.

b) якщо l>0,то особлива пряма нестійка.

2)Нехай l₁=l₂=0, тоді особлива пряма ax+by=0 співпадає з однією з сім’ї y=αx+C,тобто

з y=αx.

СТІЙКІСТЬ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ В R .

Розглянемо систему лінійних неоднорідних диференційних рівнянь .Нехай -

розв’язок,що досліджується на стійкість.

ТЕОРЕМА.

Дослідження стійкості довільного розв’язку лінійної неоднорідної системи еквівалентна дослідженню стійкості нульового розв’язку .відповідної однорідної системи