Условие коллинеарности векторов

Свойства векторов, заданных координатами

• Координаты нулевого вектора равны нулю.
• Координаты равных векторов соответственно равны.
• Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.
• Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов.
• Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.

Формулы

 

Перпендикулярность векторов

Условие перпендикулярности векторов

Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными.

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Даны два вектора ⃗a(xa;ya) и ⃗b(xb;yb)

Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x_ax_b + y_ay_b = 0.

Условие коллинеарности векторов

Векторы коллинеарны, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого — к ординате второго.

Даны два вектора ⃗a(xa;ya) и ⃗b(xb;yb)

Эти векторы коллинеарны, если x_a = λ x_b и y_a = λ y_b, где λ∈ R.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a.

Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими.

Угол между любым вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю.

.

Скалярным произведением векторов ⃗a(xa;ya) и ⃗b(xb;yb) называется произведение их длин на косинус угла между ними:

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов ⃗a(xa;ya) и ⃗b(xb;yb), заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

⃗a ⃗b = xa xb + ya yb

Суммой векторов ⃗a(xa;ya) и ⃗b(xb;yb), называется вектор ⃗с (xa + xb; ya+ yb)

 

Аналогично рассматриваются вектора и в пространстве.

 

 

Если вектора заданы графически, то сумма векторов находится по правилам:

 

Правило треугольника -Свойство дает следующий способ построения суммы произвольных векторов ⃗a(xa;ya) и ⃗b(xb;yb

 

Надо от конца вектора ⃗a(xa;ya) отложить вектор равный вектору ⃗b(xb;yb).

Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора векторов ⃗a(xa;ya) а конец - с концом вектора ⃗b(xb;yb будет суммой векторов ⃗a(xa;ya) и ⃗b(xb;yb).

 

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.