Касательные к коническим сечениям

 

A

B

Напомним, что касательной к кривой в точке A называется

предельное положение секущей AB, когда точка B неограниченно

приближается к точке A. Если кривая задана уравнением y=f(x), то

касательная к ней в точке A (x₀,y₀) определяется известным уравнением

y - y_{0 =} f’(x₀)(x - x₀) (1)

Аналогично, если кривая является графиком функции x = , то уравнение касательной будет

, (2)

где производная берется по y.

Составим уравнения касательных к коническим сечениям. Каноническое уравнение параболы y² = 2px запишем в виде . Производная: .

Тогда уравнение касательной в точке (x₀,y₀) в форме (2) будет иметь вид

Учитывая, что точка (x₀,y₀) лежит на параболе, т.е. , окончательно получим

Замечание. Уравнение касательной к параболе легко запомнить, если преобразовать уравнение параболы следующим образом: и вместо одной пары (x,y) подставить (x₀,y₀).

Пусть (x₀,y₀) – точка эллипса Выразим y:

Верхней полуплоскости соответствует знак «+», а нижней «-». Найдем производную функции, задающей верхнюю часть эллипса,

.