Пусть в пространстве введены две аффинные системы координат и . Выразим координаты произвольной точки А в системе координат через её координаты в системе .
Имеем:
,
,
. (1)
Векторы однозначно представляются через векторы :
(2)
где - координаты вектора относительно базиса . Формулы (2) можно записать короче: .
Подставим формулы (2) в выражение (1):
+ + + = = + + + .
Выражения в скобках этой формулы суть координаты вектора относительно базиса , т.е. координаты x, y, z точки А в системе .
Получили:
Причем выполняется условие
Формулы (3) дают переход от координат точки в системе к координатам в системе . Однако, если их подставить в уравнение поверхности , то получим уравнение этой поверхности в виде относительно системы с началом .
Если обе системы координат и декартовы, то коэффициенты формул (3) удовлетворяют условиям
, , .
Эти условия получаются с помощью формул (2) и соотношений для базисов
, , , =0 .
В случае декартовых координат базисы часто обозначают и . Находим: , , где знаки не согласованы. Если знаки одинаковы, то одну систему координат можно движением совместить с другой. В этом случае базисы имеют одинаковую ориентацию. Если знаки различны, то совмещение возможно движением и зеркальным отражением, т.е. базисы разной ориентации.
|
|
Упражнение 36. Показать, что переход от одной декартовой системы координат к другой Оxyz с тем же началом О можно выполнить в 3 этапа:
Углы называются углами Эйлера. Выяснить их геометрический смысл.