Уравнения поверхности и кривой в пространстве

Уравнение (1)

называется уравнением поверхности в неявной форме, если координаты каждой точки поверхности удовлетворяют этому уравнению. И обратно, любая тройка чисел (x, y, z), удовлетворяющая уравнению, представляет собой координаты одной из точек поверхности. Неявные уравнения поверхности часто встречаются в аналитической геометрии.

Если уравнение (1) удаётся разрешить относительно одной из переменных, например, выразить

z = f (x, y), (2)

то получаем явное уравнение поверхности.

Систему уравнений , , (3)

задающих координаты точек как функции 2-х параметров u, v, называют уравнениями поверхности в параметрической форме. Это наиболее общий способ задания поверхности, которым пользуются в дифференциальной геометрии.

Исключая параметры u, v из системы (3), можно получить уравнение поверхности в явном виде. Явное уравнение (2) всегда можно тривиальным образом представить неявно f (x,y) – z = 0 и в параметрическом виде: x = u, y = v, z = f (u,v).

Пример 1. Рассмотрим круговой цилиндр с осью Oz и радиусом R. Возьмём в качестве параметров u, v, характеризующих положение точки (x, y, z) на цилиндре, угол, который плоскость, проходящая через ось Oz и точку (x, y, z), образует с плоскостью xz, и аппликату z точки (x, y, z).

Тогда получим уравнения цилиндра в параметрической форме:

, , .

В плоскости xy первые два уравнения есть параметрические уравнения окружности – направляющей цилиндра. Возведём их обе части в квадрат и сложим почленно:

Получили неявное уравнение окружности в плоскости x y:

Это же уравнение в пространстве является неявным уравнением цилиндра. Отсутствие координаты z в нём означает, что она не связана с координатами x, y. Аппликата z может быть любой.

Систему уравнений , (4)

называют неявными уравнениями кривой. Каждое уравнение системы (4) есть неявное уравнение поверхности, поэтому здесь кривая есть линия пересечения 2-х поверхностей.

Систему уравнений , , , (5)

задающую координаты точек кривой как функции некоторого параметра t, называют параметрическими уравнениями кривой.

В физике t – время, поэтому линия представляется как след движущейся точки.

Если система (4) разрешается относительно 2-х координат, например,

, , то она приводится к специальному параметрическому виду:

, , z = t. (6)

Наоборот, если из системы можно выразить параметр , например , то подставив его в остальные уравнения

получим систему уравнений кривой в специальном явном виде. Это два некруговых цилиндра с осями , Ox, которые пересекаются по линии.

Пример 2. Рассмотрим окружность в пространстве. Любую окружность можно представить как пересечение двух сфер. Следовательно, окружность может быть задана системой уравнений:

причём их центры , и радиусы должны удовлетворять некоторым ограничениям, обеспечивающим пересечение сфер. Если разности возвести в квадраты и вычесть одно уравнение из другого, то получим линейное уравнение плоскости, в которой лежит окружность. Окружность можно представить как сечение любой из 2-х сфер этой плоскостью.

Кривая и поверхность могут не пересекаться, пересекаться в отдельных точках, либо лежать одна на другой. Если поверхность задаётся уравнением (1), а кривая – двумя уравнениями (4), то точки пересечения удовлетворяют системе уравнений (1), (4). Решая эту систему, находим координаты точек пересечения, если они есть.

Упражнение 33. Окружность задана пересечением двух сфер: