Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис

 

Линейным пространством L называется множество элементов, для которых определены операции сложения двух векторов и умножения вектора на число, обладающие следующими свойствами

1. Для любых векторов а и b из линейного пространства

а + b = b + а (коммутативность сложения).

В символьной записи это свойство будет иметь вид

" a,b Î L Þ а + b = b + а.

2. " a,b,с Î L Þ(а + b) + с = а + (b + c) (ассоциативность).

3. $ О Î L: " a Î L Þ а + О = а (существование нулевого вектора).

4. " a Î L $ (- а) Î L (противоположный вектор): а + (-а) = О.

5. " l Î R, " a,b Î L Þ l (а + b) = l а + l b.

6. " l ₁, l ₂ Î R, " a Î L Þ (l ₁ + l ₂) а = l ₁ а + l ₂ а.

7. " l ₁, l ₂ Î R, " a Î L Þ (l ₁×l ₂) а = l ₁(l ₂ а).

8. " a Î L Þ 1× а = а.

 

Линейными пространствами, в частности, являются: множество действительных чисел; множество векторов на плоскости или в пространстве; множество всех функций, определенных на каком-нибудь отрезке и т.д.

 

Определение 21. Линейной комбинацией векторов а ₁, а ₂, …, а _n называется

сумма с₁ а₁ + с₂ а ₂ + …+ с_n а _n, где коэффициенты

с₁, с₂, …, с_n– действительные числа.

 

Определение 22. Совокупность векторов а ₁, а ₂, …, а _n линейного

пространства называется линейной зависимой, если их

линейная комбинация равна нулю

с₁ а₁ + с₂ а ₂ + …+ с_n а _n = 0

и при этом хотя бы один из коэффициентов с₁, с₂, …, с_n

отличен от нуля.

 

Определение 23. Совокупность векторов а ₁, а ₂, …, а _n называется

линейно независимой, если равенство

с₁ а₁ + с₂ а ₂ + …+ с_n а _n= 0

выполняется лишь в случае, когда все коэффициенты

с₁, с₂, …, с_n равны нулю.

 

Утверждение 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов на плоскости является их коллинеарность.

 

Утверждение 2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов в пространстве является их компланарность.

 

Определение 24. Базисом в линейном пространстве L называется

упорядоченная система А (А = { а ₁, а ₂, …, а _n })

максимально возможного числа векторов { а ₁, а ₂, …, а _n},

удовлетворяющая условиям:

1) совокупность векторов а ₁, а ₂, …, а _n линейно независима;

2) любой вектор a Î L в системе векторов А единственным

образом представляется в виде их линейной комбинации

а = х ₁ а₁ + х ₂ а ₂ + …+ х _n а _n.

 

Числа (х ₁, х ₂, …, х _n) называются координатами вектора а в базисе

{ а ₁, а ₂, …, а _n }.

Размерность линейного пространства L определяется максимальным числом n линейно независимых векторов и обозначается dim L (dim L = n). Если это число конечно, то такое пространство L называется конечномерным.

Любая пара неколлинеарных векторов а ₁, а ₂ на плоскости является базисом множества всех векторов, лежащих на плоскости.

Любая тройка некомпланарных векторов а ₁, а ₂, а ₃ в трехмерном пространстве является базисом множества всех векторов, лежащих в этом пространстве.

В случае декартовой прямоугольной

системы координат в трехмерном

пространстве в качестве базисных выбирают

единичные векторы

i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1),

которые:

а) линейно независимы;

 

б) имеют длину, равную единице, т.е. | i | = | j | = | k | = 1;

 

c) по направлению совпадают с направлением осей

Рис. 5 координат OX, OY, OZ.

Векторы i, j, k называются ортами и образуют базис.

Любой произвольный вектор а в этом трехмерном базисе может быть представлен в виде линейной комбинации а = х i + у j + z k или а = (х, у, z), где х, у, z - координаты ветора а в базисе { i, j, k }.