double arrow

Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис


 

Линейным пространством Lназывается множество элементов, для которых определены операции сложения двух векторов и умножения вектора на число, обладающие следующими свойствами

1. Для любых векторов а и b из линейного пространства

а + b= b + а(коммутативность сложения).

В символьной записи это свойство будет иметь вид

" a,bÎ LÞ а + b= b + а .

2. " a,b,сÎ LÞ( а + b) + с= а +( b + c) ( ассоциативность).

3. $ ОÎ L:" aÎ LÞ а + О = а(существование нулевого вектора).

4. " aÎ L $(- а) Î L(противоположный вектор) : а + (-а) = О.

5. " l Î R, " a,bÎ LÞ l (а + b ) = lа +lb.

6. " l 1, l 2 Î R , " aÎ L Þ ( l 1 + l 2) а= l 1а+ l 2а .

7. " l 1, l 2 Î R , " aÎ L Þ ( l 1×l 2) а= l 1(l 2 а ).

8. " aÎ L Þа= а.

 

Линейными пространствами, в частности, являются: множество действительных чисел; множество векторов на плоскости или в пространстве; множество всех функций, определенных на каком-нибудь отрезке и т.д.

 

Определение 21. Линейной комбинацией векторов а1, а2, …, аn называется

сумма с1 а1 + с2а2 + …+ сnаn, где коэффициенты

с1, с2, …, сn– действительные числа.

 

Определение 22. Совокупность векторов а1, а2, …, аn линейного

пространства называется линейной зависимой, если их

линейная комбинация равна нулю

с1 а1 + с2 а2 + …+ сn аn = 0

и при этом хотя бы один из коэффициентов с1, с2, …, сn

отличен от нуля.

 

Определение 23. Совокупность векторов а1, а2, …, аn называется

линейно независимой, если равенство

с1 а1 + с2 а2 + …+ сn аn= 0

выполняется лишь в случае, когда все коэффициенты

с1, с2, …, сn равны нулю.

 

Утверждение 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов на плоскости является их коллинеарность.

 

Утверждение 2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов в пространстве является их компланарность.

 

Определение 24. Базисом в линейном пространстве L называется

упорядоченная система А ( А = { а1, а2, …, аn })

максимально возможного числа векторов {а1, а2, …, аn},

удовлетворяющая условиям:

1) совокупность векторов а1, а2, …, аn линейно независима;

2) любой вектор aÎ L в системе векторов А единственным

образом представляется в виде их линейной комбинации

а= х1 а1 + х2 а2 + …+ хn аn.

 

Числа ( х1, х2, …, хn ) называются координатами вектора а в базисе

{ а1, а2, …, аn }.

Размерность линейного пространства Lопределяется максимальным числом n линейно независимых векторов и обозначается dim L (dim L =n ). Если это число конечно, то такое пространство Lназывается конечномерным.

Любая пара неколлинеарных векторов а1, а2 на плоскости является базисом множества всех векторов, лежащих на плоскости.

Любая тройка некомпланарных векторов а1, а2, а3 в трехмерном пространстве является базисом множества всех векторов, лежащих в этом пространстве.

В случае декартовой прямоугольной

системы координат в трехмерном

пространстве в качестве базисных выбирают

единичные векторы

i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) ,

которые:

а) линейно независимы;

 

б) имеют длину, равную единице, т.е. |i| = |j| = |k| = 1;

 

c) по направлению совпадают с направлением осей

Рис. 5 координат OX, OY, OZ.

Векторы i, j ,k называются ортами и образуют базис.

Любой произвольный вектор а в этом трехмерном базисе может быть представлен в виде линейной комбинации а= х i + у j + z k или а= ( х, у, z ), где х, у, z - координаты ветора ав базисе { i, j, k }.

 


Сейчас читают про: