Векторы и действия над ними

 

Следует различать два типа объектов, встречающихся в естествознании: скалярные и векторные величины.

Скалярные величины – это величины, которые характеризуются числовым значением. Например, скалярными величинами являются масса тела, давление, коэффициент трения и т.д.

Векторные величины – это величины, которые кроме числового значения характеризуются еще направлением. Примерами таких величин являются: скорость тела, сила, действующая на тело, импульс тела и т.д.

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В, который можно перемещать параллельно самому себе.

Длиной вектора = а называется число (неотрицательное), равное длине отрезка АВ, соединяющего точки А и В.

Нулевой вектор – вектор, начальная и конечная точки которого совпадают: = = О. Его длина равна нулю (| О | = 0), а направление для него не имеет смысла.

Единичный вектор е -вектор, длина которого равна 1 (| е | = 1).

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы а, b и c, изображенные на рис. 1, коллинеарны.

 

Рис. 1

 

Компланарные векторы – векторы, которые лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Равные векторы – векторы, которые коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Суммой а + b векторов а и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а (т.е. вектор b приложен к вектору а) – это правило треугольника (рис. 2).

 

Рис. 2 Рис. 3

 

Если векторы а и b имеют общее начало и на них как на сторонах построен параллелограмм, то суммой а + b будет диагональ параллелограмма.

Правило вычитания векторов показано на рис. 3.

Произведением l а (или а l) вектора а на действительное число l называется вектор b, коллинеарный вектору а, длина которого |l а ½= |l|×| а |, а направление совпадает с вектором а, если l > 0, или противоположно а, если l < 0.

Проекцией точки А на прямую l называется точка А^*, в которой пересекается прямая l с плоскостью, перпендикулярной к l, проходящей через точку А (рис. 4).

 

 

Рис. 4

 

Проекцией вектора а = (рис. 4) на направленную прямую l называется вектор , где А^*и В^* соответственно проекции точек А, В на прямую l.

Проекция вектора а = на направленную прямую l будем обозначать символом (пр _l а).

Числовой проекцией |пр _l а | вектора а на направленную прямую l называется произведение длины вектора а на косинус угла a между вектором а и прямой l

|пр _l а | = | а |×cos (а, l) = | а |×cos a (0 £ a £p).