Пусть в области G заданы скалярное поле и векторное поле , такие, что функции имеют в области G непрерывные частные производные второго порядка. Тогда и - дифференцируемые векторные поля, - дифференцируемое скалярное поле. В этих случаях к полям и применимы операции вычисления дивергенции и ротора, а к полю - операция вычисления градиента. Таким образом, получим пять повторных операций:
, , , , .
Определение. Операция называется оператором Лапласа и обозначается символом (лапласиан): . Оператор Лапласа можно записать с помощью оператора набла :
.
При этом .
Тогда
Определение. Уравнение в частных производных или называют уравнением Лапласа.
Дважды дифференцируемую функцию , удовлетворяющую этому уравнению, называют гармонической в области G. Для плоской области уравнение Лапласа примет вид: .
Примеры гармонических функций: , , .