2017-11-01
390
Пусть в области G заданы скалярное поле 
и векторное поле 
, такие, что функции 
имеют в области G непрерывные частные производные второго порядка. Тогда 
и 
- дифференцируемые векторные поля, 
- дифференцируемое скалярное поле. В этих случаях к полям 
и применимы операции вычисления дивергенции и ротора, а к полю 
- операция вычисления градиента. Таким образом, получим пять повторных операций:
, 
, 
, 
, 
.
Определение. Операция 
называется оператором Лапласа и обозначается символом 
(лапласиан): 
. Оператор Лапласа можно записать с помощью оператора набла 
:
.
При этом 
.
Тогда 
Определение. Уравнение в частных производных 
или 
называют уравнением Лапласа.
Дважды дифференцируемую функцию , удовлетворяющую этому уравнению, называют гармонической в области G. Для плоской области уравнение Лапласа примет вид: 
.
Примеры гармонических функций: 
, 
, 
.
