Формула Остроградского – Гаусса

Пусть в области G, ограниченной поверхностью σ, задано векторное поле . - единичный вектор внешней нормали к поверхности σ в точке М. Пусть функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области G. Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса:

(14.11)

Или:

По этой формуле поверхностный интеграл 2-ого рода преобразуется в тройной интеграл.

Векторная форма записи этой формулы: . (14.12)

Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса: для того, чтобы поток векторного поля в сторону внешней нормали был отличен от нуля, внутри области G должны быть источники или стоки поля. Но тогда будет отлична от нуля. Само векторное поле как бы расходится от источников. Отсюда происходит название «дивергенция», или «расходимость».

Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что в объёмно односвязной области поток соленоидального поля через любую замкнутую поверхность, расположенную в этой области, равен нулю. Для объёмно неодносвязной области поток может и не быть равным нулю. Слово «соленоидальное» обозначает «трубчатое». Для соленоидального поля имеет место закон сохранения интенсивности векторной трубки, который заключается в следующем: в соленоидальном векторном поле поток через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же значение. .

Пример 14.3. Найдём дивергенцию векторного поля и исследуем расположение источников и стоков.

Решение. По формуле (14.10): .

, если .

Это уравнение цилиндра

(см. рис.14.4). Внутри цилиндра в области расположены стоки поля . Вне цилиндра расположены источники поля . На самом цилиндре нет ни источников, ни стоков.

Рисунок 14.4

Пример 14.4. Найдём поток векторного поля через полную поверхность сферы .

Решение. Поток векторного поля через поверхность . Так как поверхность замкнута, его можно вычислить по формуле

Рисунок 10

Остроградского – Гаусса (14.12):

Рисунок 14.5

Вычислим . Тогда

. Учитывая смещение сферы по оси OX, перейдём к сферическим координатам: (см. рис.14.5) , .

Уравнение сферы при этом примет вид: . Составим интеграл в новых координатах и расставив пределы интегрирования в повторном интеграле, вычислим его.

. Ответ: .

Рисунок 11

Пример 14.5. Найдём поток векторного поля через часть поверхности эллипсоида , в направлении, составляющем тупой угол с OZ, используя формулу Остроградского – Гаусса.

Рисунок 14.6

Решение. Рассмотрим следующий способ решения. Достроим данную поверхность до замкнутой, «замкнув» её координатными плоскостями . (См. рис.14.6) По свойству аддитивности поверхностного интеграла, поток П через замкнутую поверхность есть сумма потоков через часть эллипсоида и через части координатных

 

плоскостей. Тогда .

Функции непрерывны вместе со своими частными производными во всех точках . Поток векторного поля через полную поверхность замкнутого тела вычислим по формуле (14.12)

, где , т.е.

.

Если учесть, что - объём одной восьмой части тела, ограниченного эллипсоидом то получаем .

Потоки через части координатных плоскостей, замыкающих наше тело, вычисляем по формуле (14.7), у читывая направления нормальных векторов.

, т. к. ;

, т. к. ;

, т. к. . И учитывая, что , получаем ответ: .

Занятие 15.

Теория: Криволинейный интеграл в векторном поле и условия его независимости от пути интегрирования. Потенциальное векторное поле, его свойства. Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса и ее применение. Оператор Лапласа. Гармонические поля.

ОЛ-1 гл.5,6,7,8, ОЛ-4 гл.3, ОЛ-4 § 12 п.12.4.

Практика: ОЛ-6 №№ 2398 в), 2355, 2356, 2360 или ОЛ-5 №№ 10.110, 113, 116, 121, 150

Домашнее задание к занятию 15: ОЛ-6 №№ 2357, 2358, 2359, 2397