Запись дифференциальных операций второго порядка в операторной форме

- потенциальное поле является безвихревым полем.

- векторное поле роторов соленоидально.

,где - вектор-функция, полученная в результате применения оператора Лапласа функциям .

Определение. Векторное поле называется гармоническим в области G, если в этой области оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т.е. для любой точки гармонического поля выполняются условия и . Для односвязных областей из первого условия следует, что , а из второго, что , т. е. функция φ, потенциал поля – решение уравнения Лапласа и гармоническая функция.

Пример 17.1. Проверим, является ли гармонической функция .

Решение. Вычислим частные производные второго порядка функции и вычислим .

функция - гармоническая. Тогда поле -гармоническое и