Кривизна линии. (стр 38 –40)

Dr (dx, dy,dz)

Тогда модуль dr будет равен:

| d | = = | ds |

С точки зрения геометрии | ds |- этот радикал определяет элемент дуги равный по абсолютному значению ds. Или этот радикал определяет, что криволинейную дугу s мы заменили прямолинейной ds. Это значение приближенное с точностью до величин второго порядка.(высшего порядка малости)

Тогда модуль этого вектора

/ / = / / = 1

Вектор называется единичным вектором или ортом касательной к кривой АВ в точке М.

Направление

Покажем, что вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты.

Сравним направления вектора d и

Изобразим два рисунка.

Первый рисунок.

Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О^' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.

Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М₁. Перемещение точки М к М₁ _,обозначим через d маленькая дуга ds Изобразим орт по касательной к траектории.

d - это вектор элементарного перемещения точки за бесконечно малый промежуток времени dt. Он всегда направлен по касательной в сторону движения точки и абсолютно не важно в каком направлении точка движется.(в сторону увеличения или убывания дуговой координаты).

Записи будем делать под одной и другой картинкой

При движении в положительном направлении, когда дуговая координата s возрастает. (ds > 0)	При движении в отрицательном направлении, когда дуговая координата s убывает. (ds < 0)
↓↓ d или ↓↓ d	↓↑ d или ↓↑ d

Второй рисунок.

Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М₁, но изобразим ее в противоположном направлении. Перемещение точки М к М₁ _,обозначим через d маленькая дуга ds. Изобразим орт по касательной к траектории. В этом случае ds < 0.

Вывод

Вектор - всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s.

Рассмотрим некоторую пространственную линию. На этой линии возьмем две близкие друг к другу точки М и М₁ и построим в этих точках орты касательных и . По модулю они одинаковые, но у нас кривая линия, поэтому направлены они будут по разному.

Вектор перенесем параллельно самому себе в точку М.

Произведем следующее построение: через и проведем плоскость s₁

Что будет происходить с данной плоскостью, если мы будем перемещать точку М₁ к точке М?

Вектор при этом будет менять свою ориентацию в пространстве.

Что будет происходить с плоскостью?

Она будет как-то поворачиваться вокруг вектора . Пока не займет некоторое предельное положение.

Отмечаем:

При М → М₁ вдоль АВ плоскость будет поворачиваться вокруг вектора пока не займет предельное положение плоскости s₁.

Изобразим эту плоскость красным мелом.

Плоскост ь S называется соприкасающейся плоскостью в точке М к АВ.

Любой перпендикуляр к касательной называется нормалью.

Плоскость, содержащая все нормали, называется нормальной плоскостью.

Определение.

Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, нормаль лежащая в перпендикулярной плоскости называется – бинормалью.

Необходимо изобразить еще два единичных вектора: главную нормаль и бинормаль.

Вводим единичный вектор:

- орт главной нормали (всегда будем направлять его в сторону вогнутости траектории.)

- орт бинормали, его направление будем определять следующей формулой:

т.о , , - правая тройка векторов.

Так как мы привыкли пользоваться правой системой координат, то направим вектор бинормали так, чтобы данные вектора образовали правую тройку векторов.

Плоскость проходящая через орты и называется спрямляющей плоскостью к траектории АВ в точке М.

Запишем.

Совокупность плоскостей соприкасающейся, нормальной и спрямляющей представляют собой трехгранник с вершиной в точке М. Он называется естественным трехгранником.

Сделаем еще один рисунок.

Изобразим траекторию движения точки АВ. Выбираем точку М на траектории. Изобразим - орт касательной, - орт главной нормали, -орт бинормали.

Изображаем соприкасающеюся плоскость, проходящую через - орт касательной, - орт главной нормали.

Затем нормальную плоскость проходящую через - орт главной нормали, -орт бинормали.

Через орты - орт касательной и -орт бинормали проводим спрямляющую плоскость.

Оси совпадающие по направлению с ортами , , называются естественными осями координат, а их совокупность естественной системой координат.

Система меняет свою ориентацию в пространстве, поэтому он еще называется подвижным трехгранником.

Кривизна линии. (стр 38 –40)

Мы с вами уже знаем, что прямая – это линия нулевой кривизны, окружность – это линия постоянной кривизны.

Нам необходимо ввести величину, которая характеризовала бы искривленность произвольной линии в любой ее точке.

Введем угол между векторами и и обозначим (тетта).

- называется углом смежности, соответствующий дуге ММ₁.

Этот угол характеризует поворот орта касательной при переходе от М к М₁, вследствие искривления дуги на участке М М ₁.

Обозначим приращение дуговой координаты s при переходе от точки М к М₁ через .

М М₁ =

Введем понятие средней кривизны:

К_ср= | |

Эта величина показывает, на сколько повернется орт касательной при единичной дуге и характеризует искривленность дуги ММ₁.

Если бы дуга была бы одинакова изогнута, то очевидно эта величина бы характеризовала одинаковую искривленность по всем точкам этого участка. Но у нас по всем точкам дуга искривлена по - разному.

Поэтому, чем меньше и чем ближе М₁ к М тем меньше искривление линии.

Нам необходимо определить искривленность в каждой точке.

Для того, чтобы узнать кривизну в точке М следует устремить точку М к М₁.

Совершим предельный переход( →0)

К = = | | (2)

Величина, равная пределу средней кривизны при →0, называется кривизной линии в данной точке.

- данная величина не является дифференциалом, не будет производной. Обе величины бесконечно малые.

Вводим понятие радиуса кривизны:

ρ = (3)

Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны линии в данной точке.

Построение.

Отложим от точки М вдоль главной нормали в сторону вогнутости линии АВ отрезок МС = ρ.

Точка С называется центром кривизны линии в точке М

Пример №1

Вычислим кривизну прямой линии. Очевидно, для любого ее участка:

= 0

поэтому

К_ср= 0; К = 0; ρ = =

Т.е. прямая линия – линия нулевой кривизны во всех своих точках.

Пример № 2

Найдем кривизну окружности радиусом R.

Из рисунка видно = , а = R

К_ср= = = const

Т.е средняя кривизна одна и та же для участка окружности. Следовательно, окружность есть линия постоянной кривизны.

Радиус кривизны окружности равен радиусу окружности.

ρ = R

3. Определение скорости при естественном способе задания ее движения. (стр 44 –45)

Постановка задачи.

Пусть известны:

1. траектория движения точки АВ.

2. начало отсчета и положительное направление отсчета дуговой координаты s.

3. закон движения по траектории s = s(t)

Определить скорость точки по модулю и направлению.

Запишем исходную формулу, определяющую вектор скорости.

= ,

Положение точки можно определить с помощью радиуса - вектора , с другой стороны положение точки определяется с помощью дуговой координаты s.

Тем самым мы считаем, что радиус вектор есть функция дуговой координаты s, а она зависит от времени t, т. е. радиус - вектор есть сложная функция от времени, выраженная посредством промежуточной величины s.

= [ s(t) ],

Продифференцируем сложную функцию, для этого сначала вычислим производную по промежуточной переменной, а потом производную от промежуточной по окончательной переменной.

= , (4^»)