Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера

- общий вид системы 2^х линейных уравнений с двумя неизвестными. a_1,a_2,b_1,b₂ - коэффициенты, с₁ и с₂ - свободные числа (каждое из уравнений системы являются уравнениями прямых на плоскости).

Решаются такие системы по формулам Крамера: где = a₁b₂ – a₂b₁,;

= c₁b₂ – c₂b_1, a₁c₂ – a₂c_1.

а) Если , то система имеет одно решение (прямые пересекаются).

б) Если , то система не имеет решений (прямые параллельны) или имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают).

Геометрически решение систем рассматривается как взаимное расположение прямых на плоскости.

Пример 1. Решить систему

Решение. Вычислим определители.

Найдем значения переменных.

Ответ:

- 11 -

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Гаусса.

Пример 2. Решить систему

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, получим:

Ответ:

Решение систем 3-х уравнений с 3-мя неизвестными по формулам Крамера

Общий вид системы

Тогда: где

₌a₁(b₂c₃ – b₃c₂) – b₁(a₂c₃– a₃c₂)+c₁(a₂b₃ – a₃b₂),

₌d₁(b₂c₃ – b₃c₂) – b₁(d₂c₃– d₃c₂)+c₁(d₂b₃ – d₃b₂),

₌a₁(d₂c₃ – d₃c₂) – d₁(a₂c₃– a₃c₂)+c₁(a₂d₃ – a₃d₂),

₌a₁(b₂d₃ – b₃d₂) – b₁(a₂d₃– a₃d₂)+d₁(a₂b₃ – a₃b₂).

Возможны следующие варианты решений:

Если , то система имеет единственное решение.

Если , , то , а y и z выражаются через х.

- 12 -

Если , , то система не имеет решений.

Геометрически решение систем рассматривается как взаимное расположение плоскостей в пространстве.

Пример 1. Решить систему.

Найдем определители.

Найдем значения переменных.

Ответ: х = 2, у = 3, z = 1 или (2;3;1).

Упражнения.

№6.1. Вычислить определители. Решить уравнения:

- 13 -

а) б) в) г)

№6.2. Вычислить определители:

а) б) в) г)

№6.3. Решить уравнения:

а) б) в)

№6.4. Фирма производит два вида тортов. Затраты ресурсов для их производства можно представить системой. Узнайте, решив систему по формулам Крамера, какое наименьшее количество тортов необходимо выпустить фирме, чтобы производство было рентабельным.

а) 3х – 2у = 5, 4х + у = 14;

б) 4х + у = 17, 3х – 5у = 7;

в) 3х – 2у = 9, 6х – 4у = 18.

№6.5. Фирма производит три типа станков. Затраты ресурсов для их производства можно представить системой. Узнайте, решив систему по формулам Крамера, какое наименьшее количество станков необходимо выпустить фирме, чтобы производство было рентабельным.

а) 10х + у + 4z = 1, x –2у –7z = –3, 2x + y + 5z = 0;

б) 5x –3y + 2z = 19, 4x + 5y –3z = 31, 3x + 7y –4z = 31;

в) 2x –3y + z = –3, x + 5y – z = –1, 3x + y + 4z = 11.

Ответы. № 6.1. а) 29; б)18; в) 7; г) – 10; д) 0. № 6.2. а) – 92; б) – 20;

в) – 77; г) 0. № 6.3. а) – 1 и 2; б) 1,5 и 0,5; в) – 5 и 3. № 6.4. а) (3;2);

б) (4;1); в) (5;3). №6.5. а) = – 29, (0;5; – 1); б) = 10, (5;4;3); в) = 49, (– 2;1;4).