Распределение Больцмана

В отсутствие внешних сил средняя концентрация п молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одина­кова. Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуа­ция становится иной.

Рассмотрим, например, поведение молекул газа, находяще­гося под действием силы тяжести. Если бы не было теплового движения, то все молекулы «упали» бы на поверхность Земли. Наличие же теплового движения мешает этому. В результате совместного действия этих двух факторов устанавливается не­которое равновесие, и концентрация молекул становится зави­сящей от высоты. Как? Это и предстоит нам выяснить.

Пусть газ находится во внешнем поле потенциальных (кон­сервативных) сил, действующих для простоты в одном направ­лении и зависящих только от координаты г. При тепловом рав­новесии температура Т должна быть одинакова по всей толщи­не газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным.

Для определенности будем счи­тать, что силы внешнего поля на­правлены вниз, а ось Z вверх

 

Выделим мысленно бес­конечно узкий слой газа толщиной dz с площадью основания столба, равной единице (S =1).Запишем условие равновесия этого слоя, ис­пользуя гидростатический подход.На слой dz действует направленная вверх сила, обусловленная разностью давлений dp (dp < 0), и сила,дейст-вующая вниз со стороны внешнего поля. При равно­весии должно соблюдаться равенство

 

 

где F_z — проекция внешней силы, действующей на каждую мо­лекулу. Заметим, что левая и правая части этого равенства яв­ляются отрицательными.

Из механики известно, что

 

 

где U — потенциальная энергия молекулы во внешнем поле. Поэтому формулу для dp мож­но переписать так:

 

 

Считая газ идеальным, т. е. подчиняющимся формуле р = пкТ, представим левую часть в виде dp = dn ۰ kT. Тогда эта фор­мула примет вид dnkT = -ndU, или

 

Проинтегрировав последнее уравнение, получим

 

 

Будем считать, что U_o = 0, где п = п₀, тогда

 

 

Этот закон и выражает распределение Болъцмана.

С его помощью можно найти число молекул в интересую­щем нас элементарном объеме dV:

 

 

При этом следует иметь в виду, что объем dV может иметь, вообще говоря, не любую форму. Обязательным является вы­полнение условия: во всех точках объема dV концентрация п должна быть одинаковой.

Рассмотрим подробнее случай изотермической атмосферы в однородном поле сил тяжести. В этом случае U = mgz, где m —масса молекулы,

и распределение Больцмана принимает вид:

 

На рисунке показаны два гра­фика этого распределения,1и2.

 

 

График 2 соответствует более вы­сокой температуре (по сравнению с графиком 1. Произведение n(z)dz равно числу молекул в слое толщиной dz на высоте z в верти­кальном столбе, площадь сечения которого равна единице (S =1).Площадь под кривыми I и 2 на рисунке равна полному числу молекул в таком бесконечно высоком столбе. Отсюда следует, что площади под кривыми 1 и 2 одинаковы в данном случае.

Если газ представляет собой смесь разных газов, то в состоя­нии термодинамического равновесия концентрация п этих газов должна убывать с высотой экспоненциально с различной «скоро­стью» — в зависимости от масс молекул. Более крутая экспонен­та 1 на рисунке соответствует более тяжелым молекулам.

Для земной атмосферы резкого изменения состава газа с вы­сотой не наблюдается. Известно также, что с высотой темпера­тура понижается, а это противоречит требованию одинаковости температуры в равновесном столбе газа (во избежание конвек­ционных тепловых потоков). Все это указывает на то, что зем­ная атмосфера не находится в состоянии статистического рав­новесия.