Измерение доходности и риска портфеля

Инвестиционный портфель — это совокупность нескольких ценных бумаг. Чтобы найти доходность и риск всего портфеля, инвестору прежде всего необ­ходимо определить, какую долю из имеющейся у него на момент t суммы денег он направит приобретение той или иной акции портфеля. Предполо­жим, что инвестор располагает суммой = 10 тыс. руб. и решает сумму S_A направить на приобретение акции А, а сумму S_b — на покупку акции В. Принято долю:

направленную на приобретение акций «Арктура», называть весом акции А в портфеле. Соответственно является весом акций «Веги» в портфеле. Тогда для любой i-й акции портфеля ее «вес»:

Очевидно, что если в портфель включено п акций, то сумма «весов» всех акций портфеля должна равняться единице:

Доходность портфеля. Пусть в портфель объединяются п акций. На ин­вестиционной терминологии данная фраза означает, что в портфель включены акции п эмитентов. Так, если в формируемый портфель будет включено 10 ак­ций фирмы «Арктур», 20 акций «Веги» и 30 акций «Сириуса», то считается, что такой портфель содержит 3 акции. Алгебраически под ожидаемой доходнос­тью портфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых величин до­ходности акций, входящих в портфель. При этом «вес» каждой ценной бумаги определяется относительным количеством денег, направленных инвестором на покупку этой ценной бумаги, т. е. величинами :

(7.3)

где — ожидаемая доходность портфеля;

— доля в общих инвестиционных расходах, идущая на приобретение i -й акции («вес» i -й акции в портфеле);

— ожидаемая доходность i -й акции;

п — число акций в портфеле.

Высчитаем ожидаемую доходность портфеля, состоящего из акций компаний «Арктур» и «Вега», полагая, что 0,3 начального капитала направляются на приобретение акций «Арктура» и 0,7 — на акции «Веги»:

Если инвестор решит сформировать портфель из акций трех компаний и разделить начальный капитал между ними в пропорции: = 0,1; = 0,35; = 0,55, то:

Заметим, что аналогичным образом вычисляется не только ожидаемая, но и фактическая, реализованная доходность портфеля с той, естественно, разницей, что вместо ожидаемых доходностей Е(r) каждой ценной бумаги берутся дейс­твующие значения r. Так, если в момент t нам известны фактические, наблюдав­шиеся доходности r_i (i= 1,2,..., п) ценных бумаг и их «веса» W_i в портфеле, то реализованная доходность портфеля

Измерение риска портфеля. Риск портфеля оценивается с помощью диспер­сии его доходности . При определении риска портфеля следует учитывать, что дисперсию портфеля нельзя найти как средневзвешенную величину диспер­сий входящих в портфель ценных бумаг. Это объясняется тем, что дисперсия портфеля зависит не только от дисперсий входящих в портфель ценных бумаг, но также и от взаимозависимости доходности ценных бумаг портфеля друг с другом. Иными словами, риск портфеля объясняется не только индивидуаль­ным риском каждой отдельно взятой ценной бумаги портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изменений наблюдаемых ежегодных доходностей акций «Арктура» на изменения доходностей акций фирмы «Вега» и «Сириуса».

В статистике меру взаимозависимости двух случайных величин измеряют с помощью ковариации и коэффициента корреляции. Положительная ковариация означает, что в движении доходностей двух ценных бумаг имеется тенденция из­меняться в одних и тех же направлениях: если доходность акций «Арктура» воз­растает (уменьшается), то и доходность акций «Веги» также возрастает (умень­шается). Если же просматривается обратная тенденция, то считается, что между доходностями этих двух компаний существует отрицательная ковариация.

При оценке взаимовлияния акций портфеля друг на друга учитываются только парные ковариации акций. Если оценивается ковариация доходностей акций i и; портфеля за прошедшие периоды (например, как в нашем случае, за 10 шагов расчета), то ковариация подсчитывается по формуле:

(7.4)

где — ковариация между доходностями i -й ценной бумаги j -й ценной бумаги;

и — наблюдаемые доходности ценных бумаг i и j в момент времени t;

и — ожидаемые доходности ценных бумаг;

N —общее количество шагов наблюдений.

Высчитаем ковариации между доходностями фирм «Арктур», «Вега» и «Си­риус»:

Аналогичные вычисления дают: − 0,006; + 0,006. Приведенные цифры показывают, что доходности фирм «Арктур» и «Вега» имеют тенденцию изменяться в противоположных направлениях. Аналогично, отрицательная величина ковариации − 0,006 показывает на тенденцию доходностей «Арктура» и «Сириуса» изменяться в противоположных направле­ниях. Наконец, + 0,006 свидетельствует об изменении доходностей «Веги» и «Сириуса» в одном направлении.

При вычислении ковариации используются величины доходностей, и если перейти от записи доходностей в виде десятичной дроби к записи в виде про­центов, т.е. вместо r_i = 0,12 писать r_i = 12%, то при таких вычислениях величина возрастет в 10 тысяч раз и составит, например, = −120. Это может ввести в заблуждение, поскольку с ростом абсолютных величин возрастает и сте­пень взаимосвязей доходностей ценных бумаг. Чтобы избежать таких ослож­нений, часто при определении степени взаимосвязи двух случайных величин используют относительную величину — коэффициент корреляции :

(7.5)

Значит, коэффициент корреляции между доходностями i -й и j -й ценных бумаг равен отношению ковариации этих доходностей к произведению их стандартных отклонений. Значения . изменяются в пределах: −1 < < +1 и не зависят от спо­собов подсчета величин и . Это позволяет более точно оценивать степень взаимосвязи доходностей двух ценных бумаг: если > 0, то доходности i-й и j -й ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одних и тех же направлениях. Чем бли­же значения к величине +1, тем сильнее эта взаимосвязь. Когда = + 1, то счи­тается, что ценные бумаги i и j имеют абсолютную положительную корреляцию: в этом случае значения годовых доходностей и ₍связаны положительной линейной зависимостью, т.е. любым изменениям г. ₍всегда соответствуют пропорциональные изменения в тех же направлениях.

Если значения отрицательны, то и имеют тенденцию изменяться в разных направлениях. Чем ближе в этом случае к величине (−1), тем выше степень отрицательной взаимосвязи. При = −1 наблюдается абсолютная от­рицательная корреляция, когда и связаны отрицательной линейной зави­симостью. Когда = 0, то отсутствует какая-либо взаимосвязь между доход­ностями двух ценных бумаг.

Как же воспользоваться введенными категориями для оценки риска инвес­тиционного портфеля? Риск любого объекта инвестирования можно оценить величиной дисперсии . В таком случае и риск инвестиционного портфеля надо определять с помощью дисперсии доходности портфеля . Пусть в исследуемый портфель входят п ценных бумаг; тогда дисперсию портфеля не­обходимо вычислять по известной формуле (7.2):

(7.2)

где — ожидаемая доходность портфеля;

— наблюдаемые фактические доходности портфеля за шаги расчета.

Предположим сначала, что в портфель входят только две ценные бумаги с диспер­сиями и , ковариацией , на приобретение которых инвестор тратит доли W₁ и W₂ от своего первоначального капитала. Если провести соответствующие вы­числения, то можно доказать, что дисперсия такого портфеля составит величину:

Для портфеля, состоящего из трех ценных бумаг с дисперсиями, , , и ковариациями , дисперсия равна:

(7.6)

В общем виде дисперсия портфеля, состоящего из N ценных бумаг, выража­ется формулой:

(7.6)

Если вспомнить, что коэффициент корреляции , то эту формулу

можно представить в виде:

(7.7)

Предположим для примера, что инвестор формирует портфель из трех ценных бумаг — акций компаний «Арктур», «Вега» и «Сириус»; при этом из имеющейся у него первоначальной суммы инвестиций он тратит W_A= 0,2 на акции «Арктура», W_b = 0,3 — «Веги» и W_c =0,5 — «Сириуса» (W_A+W_b+ W_c = 0,2 + 0,3 + 0,5 = 1). Чему ра­вен риск и ожидаемая доходность такого портфеля? Проведем вычисления, ис­пользуя ранее полученные величины:

Допущение 5. В своих теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности r_t акций портфеля являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц исходил из предположения, что инвестор формирует свой портфель, оце­нивая лишь два показателя: Е(r) — ожидаемую доходность и — стандартное отклонение как меру риска, поскольку только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении. Сле­довательно, инвестор должен оценить ожидаемую отдачу и стандартное от­клонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желаниям — обеспечивает максимальную доходность при допустимом значении стандартного отклонения . Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его интуитивной оценки соотношения «доходность/риск».

Рассмотрим следующий пример: пусть имеются два инвестиционных портфеля А и В. Известно, что годовая доходность первого портфеля 7%, а второго — 15%. Если инвестор располагает суммой в 100 тыс. руб., то по прошествии холдингово­го периода (положим, одного года) он получит от первого портфеля 107 тыс. руб., а от второго — 115 тыс. руб. Очевидно, что с этой точки зрения первый портфель менее выгодный и инвестор выберет второй портфель. Предположим, однако, что стандартное отклонение первого портфеля = 5%, а второго = 20%. Если про­вести соответствующие вычисления, то можно установить, что при таких величи­нах доходности и риска существует 0% вероятности того, что, приобретя первый портфель, инвестор получит доход менее 70 тыс. руб. и 1 % вероятности подоб­ного исхода в случае приобретения второго портфеля. Дальнейшие возможные результаты инвестирования в портфели А и В приводятся в табл. 15.

Таблица 15.