2014-02-24
3684
Преобразование Фурье является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов. Его можно применить к периодическим сигналам, используя аппарат обобщенных функций:
(1)
На качественном уровне проиллюстрируем переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье. Представим себе периодическую последовательность импульсов и сформулируем ряд Фурье для нее. Затем увеличим период повторения импульсов 
и снова рассчитаем коэффициенты. Мы рассчитали тот же интервал, но для более тесно расположенных частот 
. Изменение пределов интегрирования не имеет значения, ведь на добавленном интервале сигнал имеет нулевое значение.
Рис 1. Изменение спектра последовательности импульсов
при двукратном увеличении периода их следования.
При спектральном анализе непериодических сигналов формула для расчета комплексного ряда Фурье модифицируется следующим образом:
4) частота перестает быть изменяющейся: 
изменяется на 
;
5) удаляется множитель 
;
6) результатом вычислений вместо нумерованных коэффициентов ряда 
является функция частоты 
:
,
, (2)
. (3)
Чтобы преобразование Фурье было применимо, необходимо чтобы:
- выполнялось условия Дирихле;
- сигнал был абсолютно интегрируемым:
. (4)
Если анализируемый сигнал 
– вещественная функция, то соответствующая спектральная функция является комплексно симметричной относительно нулевой частоты. Это означает, что значение спектральной функции на частотах и 
является комплексно сопряженным:
. (5)
Как в случае ряда Фурье, если – четная функция, то – вещественная и если – нечетная функция, то – чисто мнимая.
Модуль спектральной функции называют амплитудным спектром, а аргумент – фазовым спектром. Амплитудный спектр для вещественного сигнала – четная функция, фазовый – нечетная:
. (6)
Таким образом, преобразование Фурье ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию. При этом осуществляется переход из временной области в частотную. Преобразование Фурье является взаимнооднозначным. Представление сигнала в частотной области содержит столько же информации, сколько исходный сигнал во временной.
