Степени мнимой единицы

Рассмотрим степени мнимой единицы:

i;

i²=-1;

i³= i² i=- i;

i⁴= i³i=- i i=- i²=-(-1)=1;

i⁵= i⁴ i= i;

i⁶= i⁵ i= i i= i²=-1;

i⁷= i⁶ i=-1 i=- i;

i⁸= i⁷ i=- i i=- i²=1.

Если выписать все значения степеней числа , то мы получим такую последовательность: i, -1,- i, 1, i, -1, - i, 1 и т.д. Легко видеть, что значения степеней числа повторяются с периодом равным четырём. Таким образом, если показатель степени числа делится на четыре, то значение степени равно 1; если при делении показателя степени на четыре в остатке получается 1, то значение степени равно ; если при делении показателя степени на четыре в остатке получается 2, то значение степени -1; если при делении показателя степени на четыре в остатке получается 3,то значение степени равно – . Пользуясь этим правилом можно вычислять любую степень числа .

Определение 2.1. Комплексными числами называются выражения вида (а, b – действительные числа, – символ) и обозначаются: z, w, z=a+bi.

a – это действительная часть комплексного числаRe z=a,

b – это мнимая часть комплексного числа

Im z=b.

Если а=0, то комплексное число называется чисто мнимым, если b=0, то комплексное число равно а и называется действительным.

Пример 2.1. .

.

.

Для комплексных чисел вводятся понятия сложения, умножения и равенства:

а) Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда

.

б) Суммой чисел называется число .

в) Произведением комплексных чисел – называется число: Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.