Плоскость

Плоскость в проекциях с числовыми отметками может быть задана проекциями с числовыми отметками следующих геометрических элементов: трёх точек, не лежащих на одной прямой (рис. 14.14.а); прямой и точки вне этой прямой (рис. 14.14.б); параллельных прямых (см.рис.14.10); пересекающихся прямых (см. рис.14.11); плоской фигурой (см. рис. 14.14в).

Но наиболее удобным и наглядным изображением плоскости в проекциях с числовыми отметками является задание с помощью масштаба уклона плоскости.

Рис. 14.14

Масштаб уклона плоскости, или масштаб падения – проградуированная проекциялинии наибольшего ската плоскости. На рис. 14.15 дано наглядное изображение плоскости Г общего положения. Дадим определения основных элементов этой плоскости, которые используются в проекциях с числовыми отметками.

Рис. 14.15

Отметка горизонтали – высота горизонтали над плоскостью проекций (на рис. 14.15 горизонтали проведены соответственно с отметками 1,2,3 единицы масштаба). След плоскости Г_П0 является горизонталью с нулевой отметкой.

Линия наибольшего ската плоскости иначе называется линией падения АВ (рис. 14.15) – прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная ее горизонталям (АВ ⊥ Г_П0). Она определяет угол наклона и угол падения плоскости. Так как линия наибольшего ската перпендикулярна горизонталям, то масштаб уклона плоскости (проекция линии наибольшего ската) тоже перпендикулярен проекциям горизонталей (теорема об ортогональном проецировании прямого угла).

Изображение плоскости Г масштабом уклона плоскости показано на рис. 14.16. Масштаб уклона плоскости изображается двумя параллельными прямыми (толстой и тонкой) и обозначается той же буквой, что и плоскость, с нижним индексом i -Г_i.

Рис. 14.16

Перпендикулярно масштабу уклона плоскости проводятся проекции горизонталей. Вдоль масштаба уклона плоскости (со стороны тонкой линии) указываются отметки этих горизонталей. Цифры числовых отметок проставляются так, чтобы их верх был ориентирован в сторону подъёма плоскости.

Расстояния между соседними делениями масштаба уклона l, соответствующие единице превышения, являются интервалом линии наибольшего ската, а, следовательно, и интервалом плоскости.

Угол падения плоскости a⁰ - угол наклона плоскости к плоскости проекций (угол наклона линии наибольшего ската к плоскости проекций). На чертеже в проекциях с числовыми отметками угол падения a определяется из прямоугольного треугольника, у которого один катет равен интервалу линии наибольшего ската, а второй катет равен единице высоты в масштабе чертежа (см. рис. 14.16).

Уклон плоскости – тангенс угла падения плоскости. Уклон плоскости равен уклону линии наибольшего ската. Уклон плоскости есть, величина, обратная интервалу плоскости.

Для решения инженерных задач на земной поверхностинеобходимо ориентировать заданную плоскостьотносительно меридиана Земли. Для этого вводят понятия:

направление простирания плоскости – правое направление ее горизонталей, если смотреть на плоскость в сторону возрастания отметок;

угол простирания плоскости – угол j между меридианом земли и направлением простирания (см. рис. 14.15, 14.16). Угол простирания измеряют от северного конца меридиана против часовой стрелки до направления простирания плоскости.

Плоскость задана горизонталью 5, уклоном i=1:3 и направлением спуска, которое обозначено штрихом в сторону спуска. Такой штрих называется бергштрихом (рис. 14.17а).

Рис. 14.17

Плоскость может быть задана углом падения и направлением простирания (рис. 14.17б). Этот метод задания плоскости применяется в топографии, геологии и т. д.

Для решения большинства метрических и позиционных задач удобно, когда плоскость задана горизонталями.

Проведение на плоскости горизонталей называется градуированием плоскости.

Пример. Определить углы падения α и простирания φ плоскости Г, заданной треугольником АВС (рис. 14.18).

Рис. 14.18 Рис. 14.19

Решение. Проградуировав отрезки АВ и СD, соединяем прямыми точки с одинаковыми отметками. Это будут горизонтали заданной плоскости. Масштаб падения плоскости проводится перпендикулярно горизонталям. С помощью прямоугольного треугольника, одним катетом которого является отрезок Е₁₁F₁₂, а другим – отрезок, равный единице высоты, определяем угол наклона линии наибольшего ската плоскости Г к П₀. Затем установив направление простирания, строим угол простирания φ.

Задачи на взаимную принадлежность точки и прямой линии плоскости в проекциях с числовыми отметками решаются обычными методами.

Прямая в плоскости строится по двум точкам, отметки которых определяются в местах пересечения проекции прямой с горизонталями плоскости (рис. 14.19).

Точка в плоскости строится с помощью произвольной прямой плоскости. Для определения отметки точки вспомогательная прямая градуируется.

При проектировании инженерных сооружений в проекциях с числовыми отметками очень часто встречается необходимость решения двух типов задач:

проведение в плоскости прямой с заданным уклоном i;

проведение через прямую плоскости с заданным уклоном i.

Пример. В плоскости заданной масштабом уклона Г_i, через точку А₈ провести прямую с уклоном i =1:3 (рис. 14.20).

Решение. Интервал прямой, которую требуется построить, равен

l=1/i =3 единицам масштаба. Следовательно, точка искомой прямой, имеющая отметку 7, должна лежать на горизонтали плоскости с отметкой 7 и удалена от точки А₈ на величину интервала прямой l=3 единицам. Через точку А₈ проведем окружность радиусом R=3 и найдем точки пересечения ее с 7-й горизонталью плоскости Г. Точка А₈ и полученные точки В₇ и С₇ определят две прямые, удовлетворяющие условию задачи.

Рис. 14.20

Пример. Через наклонную прямую АВ(А₂В₅) провести плоскость Г(Г_i), уклон которой равен i=1:2 (рис. 14.21).

Рис. 14.21

Решение. Искомая плоскость Г является касательной к поверхности прямого кругового конуса, образующие которого имеют уклон, равный уклону плоскости. Горизонтали конуса – окружности, радиусы которых отличаются на величину интервала плоскости. Построения на чертеже выполняются в следующем порядке:

1) из произвольной точки прямой с целой отметкой (на рис. использована точка В(В₅)) проводится окружность радиусом, равным величине интервала плоскости R=2 (горизонталь конуса, высота которого равна единице);

2) из ближайшей точки деления прямой С(С₄) проводится касательная к построенной окружности. Эта касательная является горизонталью с отметкой 4 искомой плоскости.

Параллельные плоскости. Необходимым и достаточным условием параллельности двух плоскостей является параллельность их линий наибольшего ската (рис. 14.20).

Рис. 14.22

На чертеже в проекциях с числовыми отметками (рис. 14.22а,б,в) масштабы уклонов параллельных плоскостей должны быть параллельны, иметь равные интервалы, а отметки должны возрастать в одном и том же направлении. Признаком параллельности плоскостей является также равенство их углов простирания и уклонов (углов падения).