Прямые на плоскости

Решение.

По формуле найдем угловой коэффициент стороны АВ; имеем . В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент высоты, проведенной их вершины С, равен -3/2. уравнение этой высоты имеет вид , или .

Лекция 2

Контрольные вопросы:

1. Общее уравнение прямой.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3. Уравнение прямой в отрезках.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

5. Уравнение пучка прямых.

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

8. Полярное уравнение прямой.

9. Нормальное уравнение прямой.

10. Угол между прямыми.

11. Условие параллельности двух прямых.

12. Условие перпендикулярности двух прямых.

13. Расстояние от точки до прямой.

1. Общее уравнение прямой. Всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными х и у, т.е. уравнение вида

(1)

(где А, В, С – постоянные коэффициенты, причем ) определяет на плоскости прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Частные случаи общего уравнения прямой:

1) если , то уравнение приводится к виду , где (это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох);

2) если , то уравнение прямой приводится к виду , где (прямая параллельна оси Оу);

3) если , то уравнение приводится к виду (прямая проходит через начало координат).

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если в общем уравнении прямой , то, разрешив его относительно у, получим уравнение вида

, (2)

где , . Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

3. Уравнение прямой в отрезках. Если в общем уравнении прямой , то, разделив все его части на (– С), получим уравнение вида

, (3)

где , .

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Если прямая проходит через точку и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k, то уравнение прямой имеет вид

. (4)

5. Данное уравнение (4) с различными значениями коэффициента k называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке .

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Если прямая проходит через точки и , то уравнение прямой имеет вид

, (5)

где , .

7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Если прямая проходит через заданную точку перпендикулярно данному ненулевому вектору , то уравнение прямой имеет вид

. (6)

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

8. Полярное уравнение прямой. Положение прямой в полярных координатах определено, если указано расстояние р. от полюса О до данной прямой и угол α между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (рис.1).

Рис.1

Для любой точки на данной прямой имеем

. (7)

Прямоугольные координаты (х; у) точки М и ее полярные координаты связаны соотношениями:

(*)

(**)

где - полярный радиус, - полярный угол точки М (рис. 2).

Рис.2

9. Нормальное уравнение прямой. Если прямая определяется заданием p и α (рис. 3), то уравнение (7) прямой в прямоугольной системе координат имеет вид

. (8)