Сведения из комбинаторики

Классическое определение вероятности.

Предсказать результат единичного опыта можно лишь для достоверных и невозможных событий. Случайность же события вообще не видна при единичном опыте: если событие произойдет, оно может показаться нам достоверным, если не произойдет- невозможным.

Теория случайных событий может появиться лишь при большом числе опытов, лишь для массовых событий.

Важным условием при этом является неизменность заданных условий. События, происходящие при одних и тех же условиях, называются однородными.

Практика показывает, что события, сами по себе случайные, в большой массе при наличии однородности начинают подчиняться некоторым неслучайным закономерностям. Эти закономерности получили название вероятностных, а наука, изучающая вероятностные закономерности - теорией вероятности.

Пусть производится некоторый опыт, допустимые результаты опыта назовем элементарными исходами. Пусть эти исходы равновозможны, несовместны и единственно возможны. Обозначим число всех исходов через n, тогда в силу равновозможности исходов возможность проявления каждого из них можно положить равным как . Те исходы опыта, при которых интересующее нас событие наступает называются благоприятствующими этому событию.

Пусть событие A- интересующее нас событие, а событию A благоприятствует m- исходов, отсюда вопрос, какова возможность появления события A.

-число(вероятность)

Определение: Отношение числа исходов, благоприятствующих событию A и числу всех несовместных, равномозможных и единственно возможных исходов называют вероятностью события A.

- это число дает количественную оценку возможности появления события A.

Свойства.

1. Вероятность достоверного события равна 1. .

2. Вероятность невозможного события равна 0.(m=0).

3. Вероятность случайного события есть положительное число, не большее 1.

Вероятность любого события:

<;

.

Задача.

Одновременно бросаются 2 кубика, какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на 2-х кубиках равна 8.

Т.к. любое из возможного числа очков на одном кубике может сочетаться на другом, то общее число сочетаний n =36, эти случаи попарно несовместны и равновозможные.

,

Интересующему нас событию благоприятствует 5 случаев

.

1. Если имеется n -элементов одной группы и m -элементов другой группы, то число различных пар, содержащих один элемент из 1-й группы и 2-й группы равно

2. Перестановками из n -элементов называются их соединения, различающиеся друг от друга только порядком, входящих в них элементов.

1×2×3×¼× n

Возьмем элементы A, B, C

Размещением из n-элементов по m называются такие множества, которые различаются друг от друга, самими элементами или их порядками.

Сочетаниями из n - элементов по m называются такие их соединения, которые различаются друг от друга самими элементами.

Статистическое определение вероятности.

В различных приложениях теории вероятности в естественно- научных и технических вопросах часто пользуются так называемым статистическим определением вероятности.

Допустим имеется возможность неограниченного опыта, в каждом из которых проявляется появление или не появление некоторого события, тогда отношение -называют относительной частотой события.

При очень большом числе опытов частота сохраняет почти постоянную величину, причем колебания ее становятся тем меньше, чем больше число опытов. Поэтому вероятностью события называют числовую характеристику, около которой колеблется частота появления события, при сохранении неизменных условий опыта.

Для примера рассмотрим результаты, полученные некоторыми экспериментами при бросании монеты:

Экспериментатор	Число бросаний	Число выпадение герба	Частота
Бюффон К.Пирсон К.Пирсон			0,5080 0,5016 0,5005

Как видно из таблицы, частота здесь приближается к числу (т.е. вероятность появления герба равна).

Статистическое определение вероятности не является достаточно строгим с точки зрения математики; из него даже не видно, всякое ли случайное событие имеет вероятность. Однако статистическое определение вероятности является самым широким по числу охватываемых событий.

Пример:

Для установления уровня знаний учащихся по математике в пяти восьмых классах различных школ города была проведена контрольная работа, состоящая из 3-х вопросов. Из 200 учащихся, писавших работу, на 1-й вопрос дали верный ответ 180 учащихся, на 2-й -125 и на 3-й- 145. Какой следует считать вероятность того, что наудачу выбранный учащийся 8-го класса городской школы верно ответит на наудачу выбранный вопрос из контрольной работы?

Решение: На все вопросы получено верных ответов =180+125+145=450 ответов; всего ответов=200×3=600 ответов. Следовательно, P=.