Вероятность произведения зависимых событий

Теорема. Для зависимых событий и верно следующее: .

Это означает, что вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого события, вычисленную при условии, что произошло первое событие.

Пример 5. Из урны, в которой находятся 8 белых и 12 черных шаров, последовательно вынимают два шара и обратно не возвращают. Событие - 1-й вынутый шар черный, событие - 2-й вынутый шар черный. Найдем вероятность того, что из урны вынуты два черных шара, то есть найдем вероятность события .

(из урны вынуты два черных шара) = = = (1-й вынутый шар черный)(2-й вынутый шар черный при условии, что 1- вынутый шар черный) = .

Пример 6. Команде предстоит сыграть полуфинал и, возможно, финал. Вероятность победы в полуфинале сами игроки оценивают в 0,6, а вероятность победы в финале (при условии победы в полуфинале) – в 0,5. Какова вероятность, по мнению игроков, того, что команда станет чемпионом?

Событие - победа в полуфинале, событие - победа в финале. Событие «команда станет чемпионом» = «победы в полуфинале и финале» = . Тогда = ( победа в полуфинале) х(победа в финале при условии победы в полуфинале) = = 0,3.

Замечание. Вероятность совместного появления трех зависимых событий равна .

Пример 7. В машину «Экзаменатор» введено 25 вопросов. Студенту предлагается три различных вопроса. Ставится оценка «отлично», если на все эти вопросы получены верные ответы. Найти вероятность получить «отлично», если студент выучил 20 вопросов.

Введем события , , – Студент знает -й из трех предложенных вопросов ().

События , , зависимы: наступление события изменяет вероятность появления последующего события (так как число экзаменационных вопросов в машине уменьшилось), а наступление события изменяет вероятность последующего события .

Вычислим вероятности правильного ответа на каждый вопрос: ; ; .