Показатели вариации

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но не раскрывает строения совокупности, что существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи признака или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом - эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом - велика.

Таким образом, вариация - это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя, нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от средней. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

R=x _max -x _min.

Размах вариации показывает лишь крайние значения признака. Повторяемость промежуточных значений здесь не учитывается.

Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа - среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической.

Для несгруппированных данных

Для сгруппированных данных

Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл). С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли. Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего используют показатель дисперсии.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины. Дисперсия вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных).

Формулу для расчета дисперсии можно преобразовать, учитывая, что :

т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата их средней.

Расчет дисперсии можно упростить, используя свойства дисперсии:

Свойство 1. Если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;

Свойство 2. Если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и тоже число раз (i раз), то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в i ² раз.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации в совокупности, оно показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения. Среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет средняя величина.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработанной платы, выраженной в рублях.

Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации - коэффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.