2018-02-13
5648
Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.
Е сли векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами 
, 
, то скалярное произведение равно:
|
|
Длина вектора a ( 
) заданного координатами в ортонормированном базисе 
, 
, вычисляется по формуле
|
Координаты вектора в ортонормированном базисе: Любой вектор Аналогично плоскому случаю, помимо записи Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры: Базисные векторы записываются следующим образом: |
трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису 
: 
, где 
– координаты вектора 
(числа) в данном базисе.
широко используются версии со скобками: 
либо 
.
(дотошно 
) – запишем 
;
(дотошно 
) – запишем 
;
(дотошно 
) – запишем 
.
Метод ортогонализации Шмидта
Для справки:
Множество векторов называется ортогональной системой векторов (или системой попарно ортогональных векторов), если любые два ее вектора ортогональны (относительно данного скалярного произведения).
Всякая упорядоченная ортогональная система из n ненулевых векторов n-мерного евклидова векторного пространства образует его базис. Такой базис называется ортогональным.
Базис евклидово векторного пространства < V, g > называется ортонормированным, если все его векторы - попарно ортогональные орты (относительно скалярного произведения g).
Ответ:
a1…an – произвольный базис.
Положим вектор: 
, 
;
, 
;
, 
;
 |
– ортогональный базис
- ортонормированный базис
; 
; 
;
Теорема: 
- евклидово пространство, dim 
=n 
в существует ортонормированный базис.
Или так
Теорема: В любом ненулевом конечномерном евклидовом векторном пространстве существует ортонормированный базис.
