Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.
Е сли векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами , , то скалярное произведение равно:
|
Длина вектора a ( ) заданного координатами в ортонормированном базисе , , вычисляется по формуле
Координаты вектора в ортонормированном базисе: Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису : Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо . Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры: Базисные векторы записываются следующим образом: |
Метод ортогонализации Шмидта
Для справки:
Множество векторов называется ортогональной системой векторов (или системой попарно ортогональных векторов), если любые два ее вектора ортогональны (относительно данного скалярного произведения).
|
|
Всякая упорядоченная ортогональная система из n ненулевых векторов n-мерного евклидова векторного пространства образует его базис. Такой базис называется ортогональным.
Базис евклидово векторного пространства < V, g > называется ортонормированным, если все его векторы - попарно ортогональные орты (относительно скалярного произведения g).
Ответ:
- евклидово пространство;
a1…an – произвольный базис.
Положим вектор: , ;
, ;
, ;
– ортогональный базис
- ортонормированный базис
; ; ;
Теорема: - евклидово пространство, dim =n в существует ортонормированный базис.
Или так
Теорема: В любом ненулевом конечномерном евклидовом векторном пространстве существует ортонормированный базис.