Ортогональные матрицы и ортогональные операторы

Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на A^T равен единичной матрице:

A*A^T=A^T*A=E;

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

A^T=A^-1;

Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

Где i {1,…,n}, n — порядок матрицы, а — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

Определитель ортогональной матрицы равен, что следует из свойств определителей:

1=det(I)=det(A^TA)=det(A^T)det(A)=det(A)det(A)=det(A)²=1;

Множество ортогональных матриц порядка n над полем k образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается O_n(k) или O(n,k= ) (если опускается, то предполагается).

Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.

Теорема: матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Доказательство: положим имеем два вектора

Запишем матрицы – столбцы координат этих векторов:

Скалярное произведение этих двух векторов:

, или, в матричной записи:

(*)

Если матрица перехода от одного базиса к другому есть S, то:

X = S X₁; Y = S Y₁

Подставим в (*):

Отсюда S^T×S = E или S^T= S^-1. Т.е. матрица S – ортогональная.

К примеру, матрица, осуществляющая поворот осей координат в одной из предыдущих лекций – это матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Она является ортогональной.