double arrow

Ортогональные матрицы и ортогональные операторы.


Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на AT равен единичной матрице:

A*AT=AT*A=E;

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

AT=A-1;

Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

и

Где i  {1,…,n}, n — порядок матрицы, а  — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

Определитель ортогональной матрицы равен , что следует из свойств определителей:

1=det(I)=det(ATA)=det(AT)det(A)=det(A)det(A)=det(A)2=1;

Множество ортогональных матриц порядка n над полем k образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается On(k) или O(n,k= ) (если опускается, то предполагается ).

Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.

Теорема: матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Доказательство: положим имеем два вектора




Запишем матрицы – столбцы координат этих векторов:

Скалярное произведение этих двух векторов:

, или, в матричной записи:

                                    (*)

Если матрица перехода от одного базиса  к другому  есть S, то:

X = S X1 ; Y = S Y1

Подставим в (*):

Отсюда ST×S = E или ST = S-1. Т.е. матрица S – ортогональная.

       К примеру, матрица, осуществляющая поворот осей координат в одной из предыдущих лекций – это матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Она является ортогональной.

                

                   detT = 1, T-1 = T` =

 Ортогональные операторы

Линейный оператор  называется ортогональным, если

Для того чтобы оператор   был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была ортогональной.

Ортогональные операторы и только они сохраняют длину вектора, т. е.

 







Сейчас читают про: