double arrow

Симметрические линейные операторы и матрицы. Собственные числа и собственные векторы симметрического оператора.


Рассмотрим матрицу симметричного оператора. Докажем утверждение: чтобы оператор был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы в ортонормированном базисе его матрица была бы симметричной.

Пусть А – симметричный оператор, т. е.:

                                             (Ax,y) = (x,Ay)

Если А – матрица оператора А, а x и y – некоторые векторы, то запишем:

     координаты x и y в некотором ортонормированном базисе

Тогда: (x,y) = XTY = YTX и имеем (Ax,y) = (AX)TY = XTATY

                                                                (x,Ay) = XT(AY) = XTAY,

т.е. XTATY = XTAY. При произвольных матрицах-столбцах X,Y это равенство возможно только при АТ = А, а это означает, что матрица А – симметричная.

Собственные числа и собственные векторы

линейного преобразования.

 

Ненулевой вектор х назовем собственным вектором линейного оператора , если существует такое число l, что выполняется равенство: х = lх.

Число l называется собственным числом или собственным значением оператора .

Т.к. оператор  преобразует пространство само в себя, то матрица этого оператора квадратная. Если базис пространства {en}, то




матрица оператора:

Запишем в координатной форме равенство х = lх:

(  - lЕ) х = 0

Эта система линейных однородных уравнений относительно координат искомого вектора х. Т.к. х ¹ 0, то системы должна иметь ненулевое решение. Значит, для этого, должно быть det ( A - l E ) = 0, или

Уравнение D( l ) = 0 называется характеристическим уравнением для линейного оператора , а многочлен

                        

степени n относительно l - характеристическим многочленом.

       Если выразить и решить уравнение то получим собственные числа

 

Квадратичные формы и приведение их к каноническому виду.







Сейчас читают про: