Симметрические линейные операторы и матрицы. Собственные числа и собственные векторы симметрического оператора

Рассмотрим матрицу симметричного оператора. Докажем утверждение: чтобы оператор был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы в ортонормированном базисе его матрица была бы симметричной.

Пусть А – симметричный оператор, т. е.:

(Ax,y) = (x,Ay)

Если А – матрица оператора А, а x и y – некоторые векторы, то запишем:

координаты x и y в некотором ортонормированном базисе

Тогда: (x,y) = X^TY = Y^TX и имеем (Ax,y) = (AX)^TY = X^TA^TY

(x,Ay) = X^T(AY) = X^TAY,

т.е. X^TA^TY = X^TAY. При произвольных матрицах-столбцах X,Y это равенство возможно только при А^Т= А, а это означает, что матрица А – симметричная.

Собственные числа и собственные векторы

линейного преобразования.

Ненулевой вектор х назовем собственным вектором линейного оператора , если существует такое число l, что выполняется равенство: х = lх.

Число l называется собственным числом или собственным значением оператора .

Т.к. оператор преобразует пространство само в себя, то матрица этого оператора квадратная. Если базис пространства {e_n}, то

матрица оператора:

Запишем в координатной форме равенство х = lх:

( - lЕ) х = 0

Эта система линейных однородных уравнений относительно координат искомого вектора х. Т.к. х ¹ 0, то системы должна иметь ненулевое решение. Значит, для этого, должно быть det (A - l E) = 0, или