Кривые второго порядка и приведение их уравнений к каноническому виду

Кривая на плоскости Г называется в кривой второго порядка, если Г в некоторой ПДСК (0,i,j) имеет ур-е:

A₁₁ x²+2₁₂ xy+a₂₂ y²+2b₁ x+2b₂ y+c=0

1 случай: λ₁≠0 λ₂≠0

 (1)

2 случай: λ₁≠0 λ₂=0

 (2)

3 случай: λ₁=0 λ₂=0

 (3)

Теорема:

Любая кривая второго порядка в некоторой ПДСК имеет уравнение вида (1), (2) или (3)

Вырожденные случаи:

X²+y²+1=0 – пустое множество

X²+y²=0 – точка

X²=0 – прямая

X²=1 – пара параллельных прямых

X²-y²=0 – пара пересек. Прямых

x²/a²+y²/b²=1 – эллипс

x²/a²-y²/b²=1 – гипербола

y²=2px – парабола

 

 

Эллипс (каноническое уравнение, параметры и свойства).

x²/a²+y²/b²=1 – эллипс

1) a≥b>0, a,b – полуоси

2)          F₁(-c,0), F₂(c,0) – фокусы эллипса r₁=F₁M     

r₁+r₂=2a – фокальное св-во

3)

0≤e<1 – мера сплюснутости

4) D₁: x=-a/e, D₂: x=a/e – директрисы эллипса

r/d=e (e<1) – директриальное св-во эллипса

 

 

Ур-е эллипса со смещенным центром:

 

Гипербола и парабола (канонические уравнения, параметры и свойства).

y²=2px – парабола p – параметр параболы

O – вершина параболы

Ох – ось симметрии

F(P/2,0) – фокус параболы

X=-p/2 – директриса параболы

r=d – директриальное св-во параболы

 

x²/a²-y²/b²=1 – гипербола

r/d=e (e>1) – директриальное св-во гиперболы

e=c/a (e>1) – эксцентриситет гиперболы

y= bx/a – асимптоты гиперболы

   с>0 – фокусное расстояние

 

 

Поверхности второго порядка

Общий вид:

A11*x²+a22*y²+a33*z²+2*a12*x*y+2*a13*x*z+2*a23*y*z+2*b1*x+2*b2*y+2*b3*z+c=0;

Существует система координат, в которой это уравнение имеет вид одного из 17 канонических:

1 Эллипсоид

+  +  =1

2. Однополостный гиперболоид:

 

3.Двуполостной гиперболоид.

 

 

4.Нецентральная поверхность – эллиптический параболоид:

 

5.Гиперболический параболоид:

6. Конус и цилиндры второго порядка.1) Конус – это поверхность

 

2) Цилиндры второго порядка. Это эллиптический цилиндр .

 

Гиперболический цилиндр:

 

 

Параболический цилиндр: