Сумма корней приведенного квадратного трехчлена  равна его второму коэффициенту  с противоположным знаком, а произведение - свободному члену  .
В случае неприведенного квадратного уравнения  формулы Виета имеют вид:
Значимость теоремы Виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных  и  . Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.
Пример
Задание. Используя теорему Виета, найти корни уравнения 
Решение. Согласно теореме Виета, имеем, что
Подбираем значения  и  , которые удовлетворяют этим равенствам. Легко видеть, что им удовлетворяют значения
 и 
Ответ. Корни уравнения ,
Обратная теорема Виета
Теорема
Если числа и удовлетворяют соотношениям  , то они удовлетворяют квадратному уравнению , то есть являются его корнями.
Пример
Задание. Зная, что числа  и  - корни некоторого квадратного уравнения, составить само это уравнение.
Решение. Пусть искомое квадратное уравнение имеет вид:
Тогда, согласно теореме Виета, его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями:
Тогда
То есть искомое уравнение
Ответ.
Общая формулировка теоремы Виета
Теорема
Если  - корни многочлена  (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты  выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:
Иначе говоря, произведение  равно сумме всех возможных произведений из  корней.
|
2018-02-13
661
