Ряд Фурье функции, заданной на произвольном промежутке

Пусть f (x) – периодическая с периодом 2 l функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле на интервале (– l, l). Тогда ее разложение в ряд Фурье имеет следующий вид:

f (x) = + ,

где а ₀ = , а_n = , b_n =    (n = 1, 2, …).

Ряд Фурье четной функции f (x) содержит только свободный член и косинусы 

f (x) = + ,

где             а ₀ = ,              а_n =                    (n = 1, 2, …).

Нечетная функция f (x) разлагается в ряд Фурье по синусам f (x) = ,

где  b_n =           (n = 1, 2, …).         

Пример 45. Разложить в ряд Фурье функцию, представленную на рисунке.

• Имеем f (x) = х ², –1 ≤ х ≤ 1, f (x + 2) = f (x), х (–∞, +∞).

Эта функция непрерывна на всей числовой оси, четная и имеет период 2 l = 2,

Поэтому а ₀=  = 2  = . a_n =  = 2  =

= = 2 = –  =

= = – = –  = .

b_n = 0.

f (x) = + cosπ nx = + (– + – + – …)(–∞ ≤ х ≤ ∞).